我从事偏微分方程课程教学和科研多年，有感于现在学习微分方程的学生在广义函数论方面基础薄弱，尤其是近年来我在中国科学院大学(以下简称“国科大”) 担任本科教学工作，深感我们的分析教学体系中缺少一门从大学基础课程到研究生课程的衔接课程。故而我分别于2019年、2021年、2022年、2023年秋季学期在国科大开设“广义函数与函数空间” 课程。
我的学生邵瑞杰参加了2019年的课程并记录了初次讲解的内容，将其整理成初步的讲义。在2021年和2022年，他又协助我把初步讲义的内容做了全面的修改并配置了习题，使得该讲义成为一本真正意义上的教材。徐侥一直是我在国科大教授这门课程的助教，他对本书的内容取舍以及习题提出了非常宝贵的建议，在此表示衷心的感谢。同时也感谢多年来参加该课程学习的国科大学生们，正是他们的积极参与和反馈促使我们不断修改完善该讲义，从而最终成《广义函数与函数空间导论》（张平，邵瑞杰编著. 北京 : 科学出版社，2025. 1）一书。
本书共10章。
▋预备知识：第0章回顾了实分析的相关内容。
▋第一部分（第1至4章）：主要介绍广义函数论的经典内容。
第1章我们引入广义函数的定义并介绍了广义函数的支集、极限、广义导数等基本概念；
第2章主要研究广义函数的乘子、张量积与卷积；
第3章介绍了Fourier 变换；
第4章则在广义函数的框架下研究常系数线性偏微分方程的基本解。我们首先引入分布解的概念，在此基础上引入基本解理论，并计算了一些特殊的常系数偏微分方程的基本解，最后证明了每一个常系数偏微分方程都存在基本解。
▋第二部分（第5至9章）：主要在广义函数的框架下考察常用的函数空间。
第5章与第6章介绍了Sobolev 空间的经典结果，我们通过Dirichlet 问题引入Sobolev 空间，证明了经典的延拓定理、嵌入定理、紧嵌入定理与迹定理；
第7章介绍Littlewood-Paley 理论，给出了Sobolev 空间与Hölder 空间的Littlewood-Paley 刻画；
在第8章引入了仿积分解来考察两个分布的乘积；
第9章我们回到实分析的范畴，在一般的测度空间中引入了Lorentz 空间。
▋附录部分
为了方便读者学习，我们在附录中补充了部分相关内容。附录A 简要介绍了线性算子的插值理论; 附录B把部分广义函数的命题推广到了更一般的拓扑线性空间上; 附录C与附录D介绍了一些其他的广义函数空间并在此基础上研究了缓增广义函数ℒ′(Rn) 的结构; 附录E介绍Lorentz 空间上的卷积与乘积不等式。这些附录使得本书基本上形成了一个自洽的体系，对绝大多数的命题与习题，读者可以在本书中找到证明所需的引理与等式。
▋习题设计与学习支持
本书的习题统一放在每章的末尾，分为三类: A 类作为基础题适合当堂或课后练习，帮助读者熟悉及掌握正文的内容; B 类作为拓展题介绍了部分与正文内容相关的命题和定理，以方便学有余力或有一定基础的读者开拓视野，乃至举一反三; C 类是思考题，没有标准答案。
此外，附录也设置了部分习题供读者练习。部分较难的习题则给予了提示或计算答案，读者可以按照自己的阅读习惯与学力酌情回答这些习题。希望它们对读者能够起到启发性的作用，或者激发读者对相关数学分支的兴趣。
中国科学院大学
《广义函数与函数空间导论》
本书适合作为数学系高年级本科生和低年级研究生的授课教材，亦可作为数学领域青年教师或研究人员的参考书。一个80学时的课程足以涵盖本书的绝大部分正文内容，120学时则足以涵盖全部的内容。
事实上，大学基础分析课程的教材与习题集汗牛充栋，研究生的分析教材亦不乏名家的经典之作，但是这样一本配有充足习题的、衔接性的讲义在国内似乎并不多见。或许正因为如此，自2021年该讲义完成初稿以后，陆续有很多的学生与数学爱好者向我们索要讲义，故我们决定将其尽早出版。希望本书的出版能够弥补我们分析教学体系的不足，为更多读者提供帮助与参考。
本文摘编自《广义函数与函数空间导论》（张平，邵瑞杰编著. 北京 : 科学出版社，2025. 1）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。
(现代数学基础丛书)
ISBN 978-7-03-080960-5
责任编辑：李静科 李香叶
（本文编辑：刘四旦）
一起阅读科学!
科学出版社│微信ID：sciencepress-cspm
专业品质 学术价值
原创好读 科学品位
科学出版社视频号
硬核有料 视听科学
