看点孩子总是学不好数学，是不够聪明？还是数学真的太难？数学老师袁斌认为，其实本质原因有两点，没有学懂，或没有好习惯。从这两个底层逻辑出发，可以怎么学数学？
本文转载自公众号：博雅小学堂（ID：boyakids）
文丨袁斌 排版丨Kiki
最近我的很多学生在跟我吐槽学数学时遇到的疑难杂症：
·课后笔记追记不错，但学校2次考试，都只考了四五十分；
·上课听不懂，做题没思路；
·上课感觉听懂了，做题也感觉很会，但出错率奇高。
我跟他们做了一对一交流。像遇到第一个问题的学生，是个高中生。我给他一个建议，让他去把课程内容，自己重新推导一遍。一周后他考试成绩提升了30 分。
不是我厉害，是找到问题的本质出在哪儿后，解决其实并不困难。找不到问题的本质，就有点像无头苍蝇一样乱转，假勤奋。感动了自己，也拿不到成果。
所以我希望给大家一个清晰的概念：数学学习核心的“点”在哪。
所有学不好数学的孩子，其实归根结底就是两大原因：第一，没有学“懂”；第二，没有养成好习惯。
学不好数学，本质原因之一：
没有学“懂”
什么是没有学懂”？
“懂”好像是个很模糊的说法，但我把“懂”分成了6个具体层级。
第一层级，知道认同。
有个特别具体的例子。前两天我跟外甥女交流。她已经四年级了。因为我看她作业里乘法分配律错了不少，就跟她讲乘法分配率的原理。
讲着讲着，我发现，她不光乘法分配率的原理不知道，她连乘法的原理都不知道。
比如2乘以3什么意思？她不知道。我花了一个小时间给她讲2乘以3，是3个2相加，或者是2个3相加。——可想而知，她在学校听的是什么。
这就是“知道认同”，孩子觉得老师讲得挺有道理——反正老师讲的都对，但是她其实是不理解的。
《请回答1988》剧照
第二层级，理解含义。
他知道这是什么，但不会用。这样的情况也挺多的。
第三层级，能够应用。
理解了，能够用。很多孩子停留在这个层级了。
第四层级，知其所以然。
他既知道是什么，也知道为什么，来龙去脉是怎样的。
第五层级，能迁移其所以然。
孩子能迁移到别的知识上去，这就要求他懂得知识之间的联系。
第六层级，能迁移背后的数学思想/哲学思想。
举个例子。很多孩子能在平面直角坐标系上，找到一个点的坐标。但你再给他个空间直角坐标系，完全懵了。
原因就是，他只“懂”了前三个层级，但到第四个层级，——为什么一个点的坐标是往左和往下各做一条垂线，他就不知道。
如果他知道这个原理，遇上空间直角坐标系，那他就同样知道可以往三个坐标轴做垂线，找到坐标。这就是能够迁移，背后是转化的思想。
为什么我强调孩子“懂”的层级？
他理解到什么程度，决定了能举一反三到什么程度。他是同类的题会做，还是说连同一思想的题都会做？举一反三的范围，不一样。
反过来，他如果连为什么这个知识点是这样的，都没搞清楚，你要他去迁移，根本不可能。因为他看到的就是不同的东西，而不是它们共同的本质。能看到本质，一定是理解到背后的“为什么”，或者共同的数学思想。
其实，大部分学生“懂”的层级都没有超过前三级，这就是为什么很多孩子数学得吃力。他没想明白一个数学做法背后的原理，只能说学到什么用什么，那学的东西一多，自然效率就不够，时间就不够，数学就成了一件很难的事情。
学不好数学，本质原因之二：
没好习惯
接下来我们讲习惯问题。
很多家长说，孩子总是计算扣分，是马虎吗，粗心吗？答案肯定不是。
因为你一次不小心，那是不小心。你次次不小心，总不能说自己总是不小心吧？本质还是习惯没有养成。
那首先，我们需要界定清楚，什么是学习上的好习惯？
我把大家普遍认为的好习惯列一下：课前预习、认真听课、做错题本，还有每天练一些计算题。但这些，我觉得都称不上是好习惯。
为什么我这么说？
举一个最简单的例子，认真听课是好习惯吗？在我看来，认真听课只是个形式，谈不上说是一个好习惯。
因为我刚才讲，“懂”分六个层级，认真听课，很可能就只停留在第一个层级“知道认同”。
看起来他恨不得把老师讲的每个字都抓到耳朵里，但问题的核心是他的脑子有没有开动呢？有没有思考清楚来龙去脉，会不会迁移？如果没有，确实谈不上好习惯。
再比如说做错题本。前两天有个家长给我发消息，他孩子六年级的，数学考了70多分，然后学校老师让他把错题抄一遍，并要求家长监督。
这在我看来，其实也很难奏效。如果没有理解做错的原因，抄错题只是形式，浪费时间而已，假性勤奋。
还有家长说，孩子计算不好，就要多练习，每天练个5道、10道。同理，这也是形式而已。对提升正确率有没有帮助？
说实话，如果你的孩子正好是什么习惯都好，只是熟练度不够，这个方法是有帮助的。
但很多孩子并不是熟练度的问题，而是习惯不好，比如计算乱涂乱改、跳步、不打草稿等等，这才是真问题。
如果不认识到这些问题去改这些习惯，甚至有的家长还限时掐表，要求做题速度，你想想这是在强化孩子的正确习惯，还是在强化他错误的原有习惯？稍微一想就知道，只是海量练习，算不上一个解决问题的好办法。
所以什么叫好习惯？
好习惯，不仅仅是你做了某件事，更重要的是你怎么完成这件事的。所以我们强调的好习惯，更多时候要充满细节。
以计算习惯为例。
比如，很多孩子不打草稿，为什么？因为在他眼里面，打草稿又浪费时间，又很费劲，所以他不爱打草稿。
那什么是计算习惯的细节？我们看下面这道题，只看分子：
你发现没有，-2 (x-1)²，这一步要算两步。而后面那几个括号只需要算一步，在这种情况下，我们就可以这样规划，把需要算两步的打在草稿纸上。
这样做有什么好处呢？首先，他并没有多算，不会浪费时间，也解决了跳步的问题。同时以防他要把每一步骤都列上去，导致抄写繁杂，易出错。
所以孩子没有理解的是，打草稿其实是控制计算节奏。有点像弹钢琴，保证节拍。这就是一个计算的习惯，它是一个细节。
我给清北班的学生上第一节课，就讲怎么计算，有很多细节。包括：数字怎么书写；打草稿的时候怎么排版；草稿纸怎么用；哪些步能跳步，哪些步不能跳……都是要讲清楚的。因为这些东西影响他计算的正确率。
所以不是那么简单地说，“你多算几遍”，或者“你细心一点”，就能够帮他减少计算错误率，没有那么简单。
计算习惯，是肌肉记忆，有点像跳舞。你看到舞台上的舞者，姿势优美，身材轻盈，跳一场舞酣畅淋漓。那是每天专项训练，无数细节融合而成的肌肉习惯。这个咱们看不到的，看到的只是最后呈现出来的样子。
同样，在计算上，很多人只看到最后计算呈现出来的就是 100% 正确率或者 90% 正确率。但是这些正确率背后就是由一个一个的细节组成的。如果不去调整细节习惯，那很多时候再怎么练习，也很难拿到好结果。
《天才谢尔顿》剧照
计算这样，审题习惯也是。
很多学生觉得审题就是打个圈，甚至连圈都不打。他相信自己目光如电，一扫而过，整个题都印到了我心中。那才见鬼。怎么可能？
数学里边的审题是有很大讲究的。你读古文是不是有一种感觉，文需字字读，要是漏一个字，可能意思理解就不对了。因为我们知道，古文的含义是特别丰富的。
其实，数学语言更是世界上最简洁的语言，数学的题目更加是，“文需字字读”。他如果只是简单扫一遍题目，或者简单画个圈什么的，根本没有办法解读出背后隐藏的信息。
我给大家做个示范，如下图。数学题目是要做翻译的，每一句数学题目的文字语言，都需要翻译成数学语言。
再比如说总结习惯。很多家长说，我们家孩子初二，前面学得还好好的，为什么一学到全等三角形，全不明白了。
我说，不明白就对了。为什么说初二开始两极分化，就是卡在全等三角形这个章节？因为全等三角形是几何证明的真正开始。
所有的代数，你如果做翻译的话，会发现它只有一个翻译，基本上方向是唯一的。但几何一个条件，比如说中点，可以去想中位线，可以想三线合一，还可以想背长中线法，还还可以想三线斜边中点。每一个条件它都有很多种可能性，这都需要总结。
如果他没有做好总结，不知道各种可能性怎么去思考运用，那么就不太可能在考场的有限时间内，找到那个思路。
就跟走迷宫一样，一个口有多少条岔路，一条一条去试，没那个时间，对吧？碰运气的话，大概率也碰不到。
所以这时候，他一定要有总结的习惯。所以到初二没有学会总结的学生，不去追究这个辅助线为什么这么做的学生，几何很难学好。
当然，除了计算、审题、总结习惯以外，还有很多别的习惯，比如说研究的习惯、听课的习惯、课后笔记追记的习惯等等。每个习惯怎么做，都有很多细节。
好习惯本质是提升他的学习效率和得分效率的。而好习惯都在细节里。可以说，习惯，就是关于细节的。它要变成肌肉记忆，变成孩子一个做事的流程。
但也有句话说得好，懂了这么多道理，仍然过不好这一生。习惯也不容易养成。如果说用一句话总结，习惯养成的核心秘诀是什么？
习惯养成的本质，就是“高频重复”。
高音歌唱家杨洋曾说，同样上10节课，你每天上1节课的效果，远远强于你分10周每周上1节课的效果。习惯的核心就是高频。
怎么解决当前数学课堂存在的问题？
很多数学课存在什么问题呢？
第一，以老师讲解为主，学生听课为主，缺乏主动思考。
第二，弱化概念和推导，强化刷题，学生不会举一反三。
第三，就是对习惯养成，以强调为主，少有行动，没有具体的细节操作可以帮助孩子落地。只是空说，能落地的可能性不是很大。
基于这些问题，孩子在理解的层次上，最多在我们前面讲的“懂”前两三个层级晃荡。
那我认为， 好的课堂是怎样的呢？ 简单分享下。
第一，课上以学生为中心，概念由学生定义，公式由学生推导，例题解答和总结也是学生先做，强互动。
所以，我上一堂课，可能就讲1/3时间。怎么知道孩子在这段时间有没有思考呢？有一个守门员，叫笔记追记。
什么叫笔记追记？就是我们要求， 上课学生不能做笔记，课后再去做追记。也就是说，根据学过的内容，自己去推导一遍。
这个时候，学生不可能靠死记硬背，只能自己推导，那至少达到了知其所以然的要求，避免只是“自己觉得听懂了”，然后混过去。
第二，要达到能迁移，老师就必须要强调知识间的联系。
比如，这堂课的知识点是正负数相加，它的原理是什么？很多同学会背正数加正数就是绝对值相加，负数加负数就是取负号，绝对值相加等等。这样还是死记硬背，不会迁移运用知识的，学不活。
那我会带学生怎么做呢？画一个数轴，用有方向的线段来表示，那么正3 加负2，我们是往右跳3格，往左跳2格，这样学生就能理解，它为什么是这么算。
当我们这么考虑正负数加法的时候，其实已经是一个最简单的同方向或者反方向的线段加法，也就是我们高中所谓的“向量加法”了。
那我们继续考虑，如果这两个不在同一方向或者相反方向，还能相加吗？根据转化的思想原理，不是同一方向，能不能转化到同一方向呢？所以就把这两个斜着的线段转化成了水平和竖直的，它们就能相加了，这就是数学思想的迁移。
除了每一堂课的知识点强调前后联系，我们还会在知识模块上去强调前后联系。
以我们的代数课为例，先后涉及到知识点分别是，乘法公式、竖式除法、因式分解……一直到后面的一元二次方程和分式根式方程。有的家长会想说，现在我孩子才初一，校内没有学这些知识，孩子这么学完，会不会忘掉呢？不会的。
因为整式乘法公式是竖式除法的基础，竖式除法是因式分解的基础……也就是说，孩子每学后面一个模块都会用到前面模块的知识。这就相当于，你最开始学的东西，它一直在练，而不是说学了这个知识之后，我就马上学另外一个知识，我就把它给忘掉了。
如果大家对人工智能有所了解，应该知道在训练过程中，训练素材的比例会影响效率。例如，当训练数据中旧材料占85%，新材料占15%时，往往能达到最高的效率。
其实对于学生来说也是一样，当新旧知识的比例达到80%比20%，甚至85%比15%的时候，他的学习效率是最高的。他会感觉，每一节课，都是旧知识稍微变了一下，长出来一个新知识，这就会比较适合学习曲线，学习效率会高一些。
最后，我还非常强调，数学思想和哲学思想。
说到这些东西，可能很多家长会觉得特别悬。到底什么叫数学思维呢？
首先，训练数学思想的最简单的办法就是，一题多解、多解归一，还有多题一解、多题归一。什么意思呢？
我拿一个学生例子。这是个深圳学生，上初三，但他已经上完高中内容，而且也通过了当地的直升考试。
他发过来的是，他的课后追记。比如里面有“正难则反”的数学思想，怎么反？
总结了5种“反”的方法：反证法，逆推，先猜后证，还有待定系数法。
那具体每一种数学方法都是什么时候用？通过这个孩子总结的思维导图就能看出来。
也就是说，我们对数学思想的理解也好，解读也好，它不是简单地，我告诉你一个什么思想，然后你做这道题就用这个思想，这太悬了。
而是说，每一个知识点背后都有数学思想，每一个数学方法背后也都有数学思想。怎么总结提炼呢？通过刚才讲的，一题多解、多解归一、多题归一。
其实，整个小学、初中、高中一共就十一二种数学思想，那么我们要做的，就是带着孩子不仅把握了这些数学思想，而且把握了实现这些数学思想的各种工具，各种方法，各种知识点。这个时候他的数学思想才是活的。
《天才基本法》剧照
我喜欢看玄幻小说，有一个东西叫“金手指”，它的爽点在哪？就在于你每次看到这些金手指，能够解决各种各样主人公碰到的困难，你觉得很爽。
那么其实数学学得爽，也在于此，就是他会碰到各种各样的难题，但如果他始终能有某些数学思想，他会发现，诶，这个题是用这个思想解决的，那个题也是用这个思想解决的，他就会有看网络小说的类似爽感，那种开了金手指无敌的感觉。
我觉得，这是孩子数学学习有很大乐趣，也是养成数学思维的必经之路。
关注外滩教育
发现优质教育
