数学，这门学科从孩提时代起就陪伴着我们。在90后的记忆里，数学和语文这两门学科似乎同等重要。语文教授了我们日常生活所需的沟通技巧，而数学则为我们提供了逻辑推理的基本工具。
我们可能并不清楚数学概念究竟是从何时开始的。甚至，我们对于数学究竟源于文明的发展还是源于人类认知中固有的逻辑基础这一问题，都知之甚少。
据考古学研究，早期人类使用的结绳记数方法，或许是已知的最古老的数学表达方式之一。这种方法既简洁又直接。
人类在早期对自然界持有一种朴素而古老的观念，例如相信神创造了人类、天是圆的地是方的、物质可以无限细分等。这些朴素的观念在数学上的反映，就是那种认为整数能代表所有自然现象的简单观念。
古人更倾向于认为整数是自然界所有事物的代表。直到毕达哥拉斯学派发现直角三角形的勾股定理，人类对数字的认知才迎来了第一次重大变革。
例如，对于一个腰长为1的等腰直角三角形，其斜边的长度为根号2。但在尝试计算根号2的具体数值时，人们却发现这个数似乎无止无休，无论你计算多久，它都似乎无穷无尽。这种数被我们称作无理数，它是人类发现的第一个无理数。
在毕达哥拉斯时代之前，古希腊的哲学家们认为整数体现了自然界的和谐与秩序。而根号2的出现，无疑打碎了这种和谐与简洁的美感。
古代的学者们开始探索无理数，打破了整数的局限。无理数的发现也引领人们首次思考“无限”的概念，例如一条线段无论你如何无限细分，总能找到一段其长度为无理数。
在同一时期，芝诺提出了四条悖论，简称芝诺悖论。其中最为著名的是芝诺的乌龟悖论。芝诺提出，无论你跑得多快，你都永远追不上一只乌龟，因为在你追赶的过程中，你总是要先走完乌龟已经走过的路程的一半，而当你走到这一半时，乌龟又已经向前走了一段，你又得再走完这一段路程的一半，如此往复，你将陷入“路程一半”的无尽循环中。
然而，这一结论明显与现实不符。正是因为这样的悖论存在，人类才开始深入思考“无限”的概念及其意义。
如今我们回望芝诺悖论，显而易见，它的缺陷在于忽视了时间的因素。对线段的无限二分需要无穷的时间，而现实生活中的运动员的时间是有限的，因此我们在有限的时间内无法完成无限多的事情，从而在追击乌龟时，不会陷入“路程一半”的逻辑误区。
对无理数和“无限”概念的研究与拓展，成功化解了第一次数学危机，并引领人类步入了新的数学研究领域。
就这样，数学的基石在这2000多年间保持稳定，直到艾萨克·牛顿的出现。我们知道，微积分是牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨共同创立的。有了微积分，人们可以解决许多之前未曾解决的问题，例如精确计算边界曲折的土地面积，或者测量一条曲线的长度。
微积分的基本思想是将对象无限细分后再整合。在微积分中，经常会遇到无限逼近的概念，例如无限小量和零的区别。在当时，人们往往在某些情况下直接将无限小量视作零来处理，而忽视了它们所蕴含的深层数学意义。
牛顿时代的人们并未完全理解微分、积分和导数的内在意义。
以计算曲线上某点的切线斜率为例，当时人们的做法是在该点附近取一个两边都无限小的直角三角形，并用这个三角形斜边的斜率来代替。然而，人们总是困惑于为何直角三角形的斜边的斜率可以等于曲线在该点的切线斜率。
实际上，牛顿时代的人们并未完全区分开导数和微分的概念。曲线上某点周围的直角三角形（直角边无限小）斜边的斜率，其实只是在无限逼近该点切线的斜率。这就像无穷小量无限接近零，我们真正需要的不是无穷小量，而是零。同样地，我们真正需要的不是直角三角形斜边无限逼近某个数值的斜率，而是该点切线的斜率。既然我们知道直角三角形的斜边上限或下限无限逼近数值b，且其斜边也同样上限或下限无限逼近曲线上某点的切线斜率，那么我们就可以认定：曲线上该点的切线斜率就是直角三角形斜边无限逼近的那个数值，即b。
举个例子，假设有两个富豪，分别称为富豪甲和富豪乙。
我们知道富豪乙的资产具体数额，但对富豪甲的资产却不甚了解。富豪甲宣称：富豪乙的资产总是无限逼近我的，但永远达不到我的资产水平。而富豪乙则表示，他的资产数额很难精确计算，大概有9999万99999999....元，总之就是无限接近一亿元。那么我们可以直接得出结论：富豪甲的资产就是一亿元。
而第二次数学危机，正是源于对微积分概念理解上的差异。
第二次数学危机到第三次数学危机的间隔也不过200余年。第三次数学危机围绕着人们对集合论的质疑，始自1897年福尔蒂发现的集合论悖论，随后康托发现了第二个悖论，最终由罗素提出“罗素悖论”，将对集合论的质疑推向了顶点。
罗素悖论尤为著名。在这个悖论中，有一个技艺精湛的理发师在店门前贴了一则广告：“本店理发师技术精湛，为所有不能为自己理发的人提供理发服务，满足您的各种需求，欢迎光临！”
问题来了，这位理发师是否会为自己理发？如果他为自己理发，那么他就违背了广告上所说的“只为不能为自己理发的人服务”。但如果他不为自己理发，那他又违背了广告中“只为不能为自己理发的人服务”的承诺。
有人认为罗素悖论只是对集合定义的一种狡辩，但直到今天仍无人能完美解决这一所谓的狡辩。
罗素悖论更像是关于哲学本体论的问题，它将哲学划分为唯心主义和唯物主义两大阵营。我们从本体论的角度来解读一下罗素悖论。
假设我是一名主观唯心主义者，我可能会认为世界仅仅是我的表象，整个宇宙只是我意识的产物，为我提供娱乐的虚构场所。
但问题来了，“我”这个概念是否也是意识的产物？如果是，那么质疑“我”的思想也是意识的产物吗？如果答案仍然是肯定的，那么对“我对‘我’的质疑思想”的质疑又是什么？如果答案还是肯定的，那么我的意识的主动性又在哪里？意识的本体又在何处？难道我的前一秒意识幻想出我的后一秒意识？好像每当我思考自己的意识时，意识本体就在自动后退，从而完美规避了我对自己的意识的思考。
那么你的意识到底是什么，它是否真的存在？如果你的意识存在，请你解释之前的矛盾。如果你的意识不存在，那么世界就不再是唯心主义所宣称的世界，这岂不是与你最初的唯心主义宣言相矛盾？
罗素悖论就像这个问题，总是试图让自己置身事外，但从另一个角度看，自己又处于事物之中。那么，自己到底在事物之中还是之外呢？
