中学物理中，我们都学过单摆的周期公式
它表明单摆以不同的幅度摆动时用时是一样的。这叫单摆的等时性。
但老师告诉我们，单摆的等时性是有条件的：它的摆角应在 以内。
概念提示：摆角是指单摆的摆线与竖直方向的夹角。
为什么会有这样的要求呢？我们从单摆的动力学方程出发分析一下。
单摆在切向受到重力的分力，摆球受此回复力在竖线左右来回摆动。
设摆绳与竖线之间的夹角为 ，设向某一侧（左或右皆可）偏离时的角为正角，切向力总是与 的符号相反，则单摆的切向牛顿方程为
故得
这个方程怎么求解？
这是一个非线性微分方程，求解非常困难，更重要的是，它的解没有周期性，不符合单摆周期运动的特点。
当摆角 很小时，可认为 ，故可以将上面的方程化简为线性微分方程，即
这种方程当然容易了，它的解可表示为
其中 是单摆的振幅，即最大摆角；而角频率，根据三角函数的周期性的规律可知，振动的周期为
可见，之所以单摆周期有这样的公式，是因为我们进行了一个近似计算，即认为单摆的摆角很小时，它的正弦等于角度本身。
但这样做时，摆角应在多大的范围呢？是不是像高中老师说的那样在 以内呢？
将振幅记为 （下同），可通过比较 和 的值来分析，具体就是看下式的值随角度 的变化情况
是角度与其正弦值之间的相对偏差。由于角度制看起来更直观，所以按下将弧度制换成角度制
则 的100倍（即相对偏差百分率）随振幅的角度值 的变化曲线如下。
由图可见，在摆角不超过 时，摆角和它的正弦之间的相对偏差都不足10%。
如果按照中学物理所说的，限制在 以内的话，偏差仅约0.12%，这个精度，那家伙，那是相当的高哇！
但是， 与 之间的相对偏差，并不是由此近似而导致的周期的相对偏差！
换句话说，仅仅分析角度与其正弦值之间的关系，是远远不够的！
还有很多问题没有厘清。
例如，单摆周期是否与振幅 有关呢？到底多大的振幅范围内，单摆的周期公式才是可靠的呢？
要回答这些问题，我们得从运动方程入手来严格分析才可以。
利用能量守恒的特点[1]，可得单摆的运动微分方程如下
从0积分到 ，对应的时间是 ，故得
可以看到，当振幅 时，上述积分发散， ，这是因为当球抵达到最高处时，它处于不稳定平衡状态，它可能会一直呆在那里，所以周期是无限大。
采用椭圆积分，上述积分的级数解为（具体过程略，参看文献[2]）
由此可见，单摆的周期与振幅有关——振幅越大，单摆的周期越大！
上式是一个无穷级数，显然，保留的幂次项越多，单摆的周期的精度越高。
我们来比较一下，随着幂次分别保留到2次方项、4次方项和6次方项，单摆周期相对偏差的变化情况。
保留到2次项，相对偏差为
保留到4次项，相对偏差为
保留到6次项，相对偏差为
偏差随角度α（角度制）的变化情况如下，图中蓝、红和绿三种颜色的曲线分别代表上述保留到2次项、4次项和6次项时对应的相对偏差百分率随振幅的变化情况。
由图可见，单摆的实际周期相对周期公式给出的值偏差非常小，例如当保留到2次项时，在摆角为 时，偏差还不到1%，而摆角为 时，偏差还不到2%。
即使摆角达到 ，单摆的周期公式的偏差还不到8%。只有当摆角达到 以上时，单摆的周期公式的偏差才超过10%。
可见，虽然单摆的周期是随摆角增加而增加，但增加的非常缓慢，单摆周期公式在较大的摆角范围内都相当准确！
假设我们用单摆来制作一个钟表，当它的摆角是 ，也就是来回摆动 时，一天内记录的时间偏差仅约40秒；而当摆角再减小一半，即来回摆动 时，则偏差仅为12秒。
可见，单摆周期公式的确是一个非常精确的公式，单摆的等时性是相当可靠的！
再回头看前面依据比较角度与正弦值之间的差距的分析结果，我们会发现，那样的分析甚至都低估了周期公式的精度。
换句话说，单纯比较正弦值与角度之间的偏差，会使人们更倾向于将摆角限制在更小的范围，这无疑会使单摆周期公式的精度更高，更加可靠。
由此可见，采用近似条件 是非常可靠的！
高中学物理时，大多数人都会记住摆角不超过 这件事。达成这种共识后，老师们就可在此基础上出各种题目来考查学生了，凡是没有记住这种共识，答题可能会被判为错误。
但实际上， 并非绝对分水岭，它只是一种普遍约定罢了！窃以为，将这种约定当作绝对正确的物理知识来学习，是不必要的。
世界著名物理学家、1962年诺贝尔物理学奖获得者列夫·朗道（Lev Landau，1908~1968）认为，物理学研究中最重要的部分是如何做好近似。因此，学物理不要陷入数学的细节，无限地追求完美性和准确性，你会被带到沟里去。
最后，还是回到本文的标题，如何用一句话证明你是物理系的？
答曰：当然有很多方式啦，但最合适的就是 ，因为它足够精确！
参考文献
物理夜航船：直觉与猜算/（美）徐一鸿著；姬扬译，北京：世界图书出版有限公司北京分公司，2024.10.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum#Period_of_oscillation来源：物含妙理
编辑：小咕咕
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