1882 年，数学家克莱因发现了一种无定向性曲面，后人将其命名为克莱因瓶。
从外观上看，克莱因瓶如同一个造型奇特的瓶子，底部有一个洞，瓶颈延长后扭曲地伸进瓶子内部，并与底部的洞相连。
然而，它之所以令人称奇，在于即便将地球上所有的水都注入其中，也无法将其装满。
这是因为克莱因瓶没有 “边”，其表面不会终结，且并非密闭结构。
水从瓶颈开口注入后，永远无法充满整个瓶子。更为神奇的是，一只苍蝇能从瓶子内部直接飞到外部，无需穿过瓶子表面，这意味着克莱因瓶没有内外之分。
实际上，克莱因瓶本质并非瓶子，而是一种曲面。
它最初被称为克莱因瓶，源于一个翻译错误，但因其外形与瓶子相似，这一称呼便沿用至今。
我们在市场上见到的克莱因瓶模型，其实都是赝品。
真正的克莱因瓶是一种只能在四维空间中完整呈现的曲面，其瓶颈部分通过第四维度空间与瓶底开口相连，不会穿过瓶身，更不会与瓶身相交。
但由于我们生活在三维空间，在表现克莱因瓶时，不得不让瓶身和瓶颈呈现相交状态。这就如同将三维空间中不相交的打结绳子，绘制在平面上时，打结处看起来会与自身相交一样。
在三维空间中制造四维的克莱因瓶极为困难，即便技艺精湛的工匠，也只能制作出与自身相交的近似模型。
克莱因瓶无内无外、没有尽头的特性，让人联想到宇宙的结构。
一直以来，宇宙被认为可能没有尽头。于是，有人大胆猜想：宇宙是否也是一个克莱因瓶？我们是否被困在宇宙这个克莱因瓶的表面，因而无法找到它的尽头？尽管这一问题引发了广泛的思考和讨论，但以目前的科技水平，人类还无法给出答案。
或许，只有当人类拥有更高维度的视角时，才能解开这个谜团。
还有与克莱因瓶相似的结构，莫比乌斯带。
将克莱因瓶对称切开，就能得到两个莫比乌斯带。莫比乌斯带是一种神奇的环形结构，制作方法简单，只需将一条长方形纸带的一端旋转 180 度，再与另一端粘合，就可得到。
莫比乌斯带只有一个面。用彩色笔沿其表面中轴画线，笔尖持续沿曲面前行，最终带子的两面都会被涂上相同颜色。
这一独特结构由德国数学家莫比乌斯发现。据说，他在野外散步时，撕下一片玉米叶子摆弄，从中获得灵感。回到办公室后，用纸条做出了莫比乌斯带。
这时，一只蚂蚁爬到带子上，在不翻越任何边界的情况下，爬遍了纸条的两面，有力地证明了莫比乌斯带只有一个面。
如果用剪刀沿莫比乌斯带的中线剪开，会出现令人意想不到的结果：它不会像人们预想的那样分成两部分，而是变成一个宽度减半、长度翻倍的纸环。
更奇妙的是，若有生物沿着莫比乌斯带中线持续前行，绕一整圈回到起点时，会出现左右颠倒的现象。
一位设计师基于莫比乌斯带原理，设计出一款有趣的金属益智玩具。玩具的环带外侧有一个小缺口，游戏目标是取下套在环上的金属铁片。环带表面分布着许多小长条状凸起，增加了游戏难度，深受脑力爱好者喜爱。
莫比乌斯带的应用十分广泛，在建筑、工业、艺术等领域都能看到它的身影。哈萨克斯坦的国家图书馆就采用了莫比乌斯带结构进行外形设计。
图书馆位于阿斯塔纳，独特的外形简约而富有特色。设计者通过空间扭曲，在有限的平面面积上，向各个方向拓展了场馆空间，大大提高了空间的可用性。
在工业领域，一些皮带传送装置采用莫比乌斯带形状的皮带，增大了可磨损面积，提高了皮带的耐用性。此外，许多标志和物品的设计也借鉴了莫比乌斯带的灵感。
从维度角度看，莫比乌斯带是由二维的纸张制作而成的三维曲面，而克莱因瓶则是由两个三维的莫比乌斯带组成的四维曲面。克莱因瓶和莫比乌斯带凭借其神奇的性质，吸引着众多专业人士和爱好者不断探索，在解决各领域难题方面发挥着独特的作用 。
