你是否发现，世界地图上的俄罗斯看起来比非洲还要大？世界地图的比例尺不是绝对准确的？这些现象的背后，隐藏着地理制图学的根本挑战——如何将地球表面展开成一个二维平面，尽量避免失真。
01
地图是如何制作的？
地图的数学基础是地图的基本骨架，它决定了地图上物体和现象的空间位置和精度，其内容主要包括地图投影、地图比例尺、坐标系统和地图定向。本文我们主要讨论地图投影这件事。
将一个橘子剥开，试图将橘子皮压平，只能撕裂或者拉伸。类似地，地球近似一个椭球体，试图将其展开为平面的操作，也会遇到同样的困难。
由于地球椭球面是一个不可展的曲面，而地图通常是连续的二维平面，如将球面强行展开，必然会产生裂隙或褶皱。因此，必须在球面与平面中建立某种数学法则来解决这个问题。将地球椭球面上的点转换到地图平面上的点的方法称为地图投影。
地球投影种类繁多，根据制图区域的位置、大小、区域形状以及地图用途，可设计或选择不同的地图投影。按投影后经纬线的形状进行分类，最常见的有方位投影、圆柱投影和圆锥投影。
当然不论哪一种投影方式都会产生误差和变形，其中包括长度变形、角度变形和面积变形。有的投影地图上同时存在三种变形；有的投影地图上面积没有变形，但角度变形较大；有的投影地图上角度没有变形，但面积变形较大。在不同投影的世界地图上，格陵兰岛的面积变形、形状变形都十分明显（见下图）。
地图投影的数学核心是建立球面坐标（经度 、纬度 ）到平面坐标的映射函数： ，不同的投影方式对应不同的函数设计。以墨卡托投影和高斯-克吕格投影这两类经典的地图投影为例。
墨卡托投影对应的数学公式为：
该投影通过指数拉伸纬线间距，确保任意两点间的直线即为恒定航向线。简单理解即它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置的正确。但代价是高纬度面积膨胀，如格陵兰岛（实际约216万平方公里）与非洲（约3020万平方公里）在图上看似大小相近。另外，这种投影下极地将无法显示，因为纬度接近90°时， 值趋向无穷大。因此它是航海家的“方向神器”，常用作航海图和航空图。
墨卡托投影
以格林威治为中心的墨卡托地图投影
高斯-克吕格投影是局部保形的数学魔术。针对大范围地图的形变问题，高斯-克吕格投影将地球划分为狭窄经度带（如6°一带），每带独立投影。其公式基于保角映射：
该投影在中国地形图中广泛应用，代价是相邻带之间存在坐标跳变。
高斯-克吕格投影
以格林威治为中心的高斯-克吕格地图投影
02
由地图引发的故事
1522年，麦哲伦船队首次完成了绕地球一周的航行，证明了地球是个球体。而大航海时代的各种发现，刺激了殖民主义者的扩张欲望。要想征服世界，就需要一张精确的地图，画地图这个任务就落到了数学家的身上。这件事看起来似乎没那么困难，其实却导致了整个近代几何学观念的改变。
经过200多年，人们尝试各种各样的方法，还是没有找到一种完美地将地球投影到平面上的方法。直到1750年前后，欧拉开始考虑这个问题，他提出了“保形映射”的概念，用于定义什么是曲面到曲面的一个精确的映射。简单来说，如果把一个曲面映射到另一个曲面，其上每个对应点的微分三角形的角度不变、长度成比例的话，就把这个映射叫做“保形映射”。
如果一个曲面可以保形映射到一个平面，就称这个曲面为可展曲面，例如柱面、锥面，都是可展曲面。欧拉证明，球面不是一个可展曲面，它不能够保形映射到平面上，这就是为什么找不到一种完美的画地图的方法的原因。
常见可展曲面
1820年，高斯接到一个任务，要求绘制汉诺威公国的地图。在欧拉的启发下，高斯定义了一个概念，叫做高斯曲率。高斯证明，如果一个曲面可以保形映射到另一个曲面上，那么这两个曲面对应点的高斯曲率必然都是相等的。例如，平面上每一点的高斯曲率都为零，由于可展曲面可以保形映射到一个平面上，因此，它上面每一点的高斯曲率也都为零。高斯对这个结果非常满意，称之为绝妙定理，即曲面的高斯曲率是内蕴的。
想象一张A4纸，将其一边卷起构成圆柱面，但是纸张上任意两点间的距离没有发生变化（等距变形），只是这张纸在三维空间中的嵌入方式发生了改变。虽然纸张经过弯曲变形（即等距变形），但高斯发现，在这个过程中，至少有一样东西并没有随着弯曲变形而改变，那就是这张纸上的高斯曲率。高斯曲率的发现，让人们意识到，有些量是不随弯曲变形而改变的，这些与弯曲变形无关的不变量，才是具有决定意义的。高斯把这些量，称之为曲面的内蕴性质。从此，内蕴微分几何成为几何学家们研究的主要对象。
高斯在1827年刊行的著作“关于曲面的一般研究”奠定了作为数学的独立领域的曲面微分几何的基础。在高斯的书中发展了曲面理论的一些普遍的方法和问题。高斯特别是从地理制图的要求出发的，地理制图的问题包括如何最精确地在平面上画出地球表面各部分的地图。完全正确的地图在这时是不可能的；尺度比例必须受到地球表面弯曲程度的影响而有所改变。所以就发生了关于寻求最精确的绘图方法的问题。制图学在很古的时代就已经开始了，但是它的一般理论的创立，还是20世纪的成就，而且没有曲面的一般理论和分析学的一般方法的发展，这种成就是不可能有的。
来源：数学经纬网
原标题：《你知道地图有误差吗？》
编辑：姬子隰
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