1940年，哈代出版了《一个数学家的辩白》，谈论了数学中的美学，给众多数学“门外汉”一个机会，洞察工作中的数学家的内心。
82年后，国际著名数值分析专家、冯·诺依曼奖获得者劳埃德·尼克·特雷费森教授在《一个应用数学家的辩白》中记录了自己早期学习数学的成长过程，对数学本身的深刻思考、对纯数学和应用数学的真切感悟，以及对数学所面临的挑战的反思。
中国科学院汤涛院士评价《一个应用数学家的辩白》“将为下一代留下宝贵的精神财富，让我们领略到应用数学学科的魅力，并看到一位充满激情的应用数学学者的成长之路。”
影响数学家的数学大师有什么魅力？数学家的使命是什么？数学家现在面临的艰巨挑战是什么？这些影响数学发展的问题都可以从《一个应用数学家的辩白》中找到答案。
《一个应用数学家的辩白》
作者：[美]劳埃德•尼克•特雷费森
译者：何生
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和画家或诗人一样，数学家也是模式的创造者。如果说数学家创造的模式比前者的更持久，那是因为这些模式是由思想构成的。画家用形状和颜色创造样式，诗人用文字创造格律。一幅画中可能包含“思想”，但它的思想通常是老生常谈，并不怎么重要。在诗歌里，思想会更重要一些。但是，正如豪斯曼所坚持的那样，思想在诗歌中的重要性被习惯性地夸大了 :“我无法说服自己，存在一种叫诗歌的思想的东西。诗歌不在于它要表达的内容，而在于它表达的方式。”
同画家和诗人的模式一样，数学家的模式必定是美的。与色彩和文字相同，思想也必然会以某种和谐的方式组合。美是首要的试金石：丑陋的数学不可能永存。在这里，我必须纠正一个至今仍普遍流传的误解（尽管现在可能已经比 20 年前好了许多），这就是怀特海所谓的“文人般的执迷”，即认为对数学审美的热爱“在每一代人里都只是少数怪人的偏执”。
02
关于年龄问题，我最好补充几句，因为它对数学家特别重要。任何一位数学家都不应该让自己忘记，比起任何其他艺术或科学，数学更是年轻人的游戏。举一个相对简单的例子，在英国皇家学会的入选者中，数学家的平均年龄是最小的。
我们还可以很轻松地找到更多引人注目的例证。比如，我们可以看看下面这个人的职业生涯，他无疑是世界上最伟大的三位数学家之一。牛顿 在 50 岁时放弃了数学研究，他在很久以前就失去了对数学的热情；毫无疑问，他在 40 岁时就意识到他那最富有创造力的数学生涯已经结束。牛顿最伟大的思想——流数术和万有引力定律——是在 1666 年左右产生的，那时他才 24 岁。“在那些日子里，我正处于发明创造的黄金时期，我比任何时候都更专注于数学和哲学。”他不断地取得重大发现，一直到将近 40 岁（他在 37 岁时算出了“椭圆轨道”），但在此之后，他除了修正和完善之前的成果，几乎再也没有做出什么新的东西了。
伽罗瓦21 岁就死了，阿贝尔27 岁，拉马努金33 岁，黎曼也只活到 40 岁。也有人在上了年纪之后做出过了不起的成就，高斯关于微分几何的著名论文是在他 50 岁时发表的（尽管 10 年前他就有这方面的基本思想）。据我所知，在数学上没有一项重大的进步是由超过 50 岁的人提出的。如果一把年纪的人丧失了对数学的兴趣并将它抛弃，由此造成的损失对数学和他个人而言都不会很严重。
另一方面，数学家们在离开数学领域之后的状况也并不那么振奋人心，他们也都没什么实质性的建树。牛顿（在不和别人争吵的时候）是一个相当能干的铸币厂厂长。班勒卫是一位不太成功的法国总理。拉普拉斯的政治生涯极不光彩，但他几乎不能算是一个合适的例子，因为他不是无能，而是不诚实，而且他从来没有真正“放弃”过数学。很难找到第一流的数学家在放弃数学之后，在其他领域取得卓越成就的例子 。也许有一些年轻人，倘若他们专攻数学，就会成为一流的数学家，但我从未听说过一个确实可信的例子。我自己有限的经历反复证明了这一切。我所认识的每一位真正才华横溢的年轻数学家都对数学忠心耿耿，他们志存高远，充满雄心壮志。他们都意识到，如果存在一条可以通往卓越人生的道路，那这条道路就是数学。
03
如果求知欲、职业自尊心和雄心是从事研究的主要动机，那么毫无疑问，数学家是最有机会具备这些动机的人群了。他们所研究的是所有学科里最令人感到好奇的——没有一门学科所涉及的真理会搞出如此奇怪的把戏。数学学科拥有最精巧和最迷人的技巧，并且为人们提供了绝佳的机会来展示他们纯粹的专业技能。最后，历史还充分证明，不管数学成就的内在价值如何，它都是所有成就中最持久的。
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数学家也不必特别担心未来会对他不公平。永生往往是荒谬和痛苦的：我们很少有人会选择成为奥格、阿纳尼亚斯或加利奥。在数学领域，历史有时甚至也会开一些奇怪的玩笑：罗尔在微积分基础课本上的形象仿佛能和牛顿比肩；法里一直被提起的，是因为他没能理解一个在 14 年前就被哈罗斯完美证明了的定理；五个值得一提的挪威人的名字被写在阿贝尔的传记里，只因他们尽心尽职的愚蠢举动伤害了自己国家最伟大的人物。但总体而言，科学史是公道的，数学史尤其如此。其他学科都没有这种明确并且能被一致认可的标准，那些被人们记住的人，几乎都是那些值得被记住的人。如果你愿意投资，数学名望一定是最合理、最稳健的选择之一。
05
我说过，数学家是思想模式的创造者，美丽和严肃性是判断其模式的标准。我无法相信，任何一个理解这两个定理的人会怀疑它们不符合这些标准。如果我们将这两个定理与杜德尼构思的最巧的谜题（或者国际象棋大师编制的最妙的难题）相比，那么它们在这两个方面的优势都很明显：毫无疑问，它们完全不在一个层次。定理严肃得多，也漂亮得多。我们还能更进一步说出它们到底有什么优势吗？
一个重要的数学思想、一个严肃的数学定理，在某种意义上应该是“普遍的”。这个数学思想应该是许多数学结构的组成部分，它们被用于证明各种不同类型的定理。这种定理应该是这样的：即便它最初表述成一种非常特殊的形式（如毕达哥拉斯定理），但其具有相当大的可拓展性，并且是所有同类型定理的典型代表。证明所揭示的，是那种把许多不同的数学思想联系起来的关系。所有这些都非常含糊，并且有所保留。但很容易看出，如果一个定理一点儿这些特性都没有，那么它就不太可能是严肃的；这类例证可以从众多孤立的奇特算术中找到。
“普遍性”是一个模棱两可而且相当危险的词，我们必须小心不要让它过多地主导我们的讨论。它在数学以及和数学有关的著作中有许多不同的含义，其中有一种是逻辑学家特别强调的，我们在这里不做讨论。除去那种，它是很容易被定义的，所有的数学定理都具有同等且彻底的普遍性。
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我对“重要思想”的第二个要求是深度，这一点更难定义。它和难度有关，“更深刻”的思想通常更难理解，但它们并不完全相同。毕达哥拉斯定理的基本思想及其推广是相当深刻的，但现在的数学家都不会认为它们很难。另一方面，某个定理可能本质上很浅显，却很难证明（就像许多“丢番图的”定理一样，所谓丢番图定理是一些关于方程的整数解的定理）。
数学思想似乎是分层排列的，每一层的思想之间由一种复杂的关系相连，上下层之间也互有联系。层次越往下，思想越深刻（通常也会更难）。因此，“无理数”的概念比整数的概念更深奥，而毕达哥拉斯定理也比欧几里得定理更深刻。
让我们把注意力集中到整数，或者某一特定层次里的某组对象之间的关系上。那么，我们也许可以完全理解其中的某种关系，例如，我们可以发现和证明整数的某些性质，而无须掌握下一层的知识。因此，我们只用整数的性质就证明了欧几里得定理。但还有许多关于整数的定理，如果我们不深入研究和思考下一层的情况，就无法正确理解它们，更谈不上证明。
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哪部分数学才是有用的呢 ?
首先，中小学校里的大部分数学，如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分，都是有用的。我们必须排除一些“专业”知识，比如射影几何。在应用数学领域，力学原理是有用的（学校里教的电学归入物理学）。
其次，相当比例的大学数学也是有用的：一些是中小学数学的进阶，它们具备更完善的技巧；还有一些更像物理学的学科，如电学和流体力学。我们还必须牢记，知识储备永远是有益的，如果某些注重实用的数学家只掌握了他该掌握的知识的下限，那么他们就可能会存在严重缺陷；因此，我们在各方面都必须多懂一些。但我们的结论一定会是，这样的数学是有用的，因为它们是高级工程师或普通物理学家们所需要的。这大致相当于说，它们没有特别的美学价值。例如，那些枯燥的欧氏几何是有用的——我们不需要平行公理，也无须比例理论或构造正五边形。
于是出现了一个相当奇怪的结论，纯数学无疑在总体上比应用数学更有用。纯数学家似乎在实用性和美学方面都占优。因为最有用的是技巧，而数学技巧主要是由纯数学教授的。
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有两种数学。一种是真正的数学家研究的“真正的”数学，另一种则是我所谓的“平凡的”数学——没有更好的词来形容这种数学了。平凡的数学可以用霍格本或他那一派的作者提出的论据来辩护，而真正的数学却没有这种辩词，即使它能被辩护，也只能把它当作艺术。这个观点一点也不含糊，也没什么特别，数学家们普遍都是这么想的。还有一个问题需要考虑。我们刚刚已经得出了结论：总体而言，平凡的数学是有用的，而真正的数学是无用的。就某种意义而言，
平凡的数学是有益的，而真正的数学并不是。但我们不禁要问，这两种数学是否是有害的呢？认为数学在和平时期会造成巨大危害是荒谬的，因此我们只考虑数学对战争的影响。现在要冷静地探讨这类问题是很困难的，我也应避免讨论这些问题。然而，这个讨论似乎又是无法回避的。幸好并不需要讨论很久。
对真正的数学家而言，很容易得到一个令人欣慰的结论：真正的数学对战争没什么用。迄今为止，还没有人发现数论或相对论能被用于战争目的，而且在未来的很长一段日子里，似乎也不太可能有人会这么做。诚然，应用数学的某些分支，如弹道学和空气动力学，是为战争而特意发展起来的，它们需要相当复杂的技术——也许很难把它们归为“平凡的”数学，但它们同样也都没有资格被当作“真正的”数学。它们确实丑陋得令人生厌，也枯燥得让人作呕，即使有李特尔伍德加盟，也无法让人们对弹道学产生敬意。如果他不能，又有谁可以做到呢？所以真正的数学家是问心无愧的，他们的工作可能具有的所有价值都是无可非议的。正如我在牛津大学所说，数学是一种“无害而清白”的职业。
另一方面，平凡的数学在战争中有许多应用。例如，倘若没有这种数学，射击专家和飞机设计师就无法工作。这些应用的总体效果是明显的，数学促进了（即使不像物理学或化学那么明显）现代的、科学的、全面的战争。
上文转自图灵新知，【遇见数学】已获转发许可。
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《一个数学家的辩白（双语版）》
作者：[英] 戈弗雷•哈代 译者：何生
本书是哈代于1940年写成的心得之作，展现了数学之美、数学的持久性和数学的重要性三大主题。作者从自己的角度谈论了数学中的美学，给众多数学“门外汉”一个机会，洞察工作中的数学家的内心。作者还讨论了数学的本质与特点、数学的历史及其社会功能等诸多话题。该书被称为是“用优雅的语言对数学真谛进行了完美的揭示”，原汁原味地向读者展示了一位真正、纯粹的数学家的数学思想，是不可多得的经典读物。
