黑尔戈兰岛（Helgoland）西海岸的红色水成岩悬崖；图源：维基百科
导读：
花粉过敏至今让人苦恼，尤其是当你躲无可躲的时候。 好在， 1925年的夏天， 23岁的维尔纳·海森堡可以跟老板请假，逃到北海的黑尔戈兰岛。
在那个光秃秃的地方，他的花粉症消失了，大脑清醒了起来，然后，“事情发生了”。
“我有一种感觉，透过与原子有关的各种现象的表面，我看到内部有种异乎寻常的美。我一想到现在必须一一探究这些丰富的数学结构，就感到快要晕倒了……我兴奋得无法入睡”。
自此，关于量子力学的诞生，多了一个传说。
程鹗|撰文
回到哥廷根后，海森堡却患上严重的季节性花粉过敏。他的整个脑袋红肿得不成样子，眼睛也睁不开。于是他不得不向玻恩请两个星期假，自己带上几本书和一大沓演算纸乘火车到德国的最北端，然后搭船去北海中的一座小岛。
那是一个面积不过2.6平方千米的荒岛，上面只有几间简陋营房供前来度假的人使用。对海森堡来说，这个岛的优势正在于它的光秃秃：没有植被，也就没有花粉。
在海风的吹拂下，他的症状逐渐消退，脑袋开始清醒。他整天在岛上徒步攀爬，阅读、背诵约翰·冯·歌德(Johann von Goethe)的经典诗篇，间或也思考他的物理。
德国物理学家海森堡(1901年12月5日-1976年2月1日)。图源:维基百科
从牛顿开始，物理学家对物体运动的描述集中于位置和速度。只要知道物体在某一时刻的位置和速度，牛顿定律就可以通过其受力环境准确地计算它在将来任何时刻的位置和速度。玻尔的原子模型也是一样：电子在某一时刻会出现在特定轨道上的某一位置，有着某个特定的速度。
然而，与牛顿所熟悉的物体不同，从来没有人真正看到过电子，甚至原子。泡利的教父马赫曾经因此断然否决原子的存在，因为这个存在无法证实。如果原子的存在尚且存疑，何况其内部的电子轨道？
泡利在那篇被爱因斯坦赞为“对科学思维心领神会”的相对论综述中曾为相对论的思想起源赋予逻辑实证的阐述。他以比爱因斯坦更为熟稔的笔触回顾爱因斯坦如何通过一系列假想实验论证牛顿绝对空间、绝对时间之不可能存在，引力与加速的无法区分，从而建立崭新的相对论时空观。泡利在文中总结道：“在物理上，对实验中无法观测的物理量的讨论是毫无意义的……那些只会是假想概念，没有物理意义。”
从小对哲学深感兴趣的海森堡对师兄的逻辑实证描述并不陌生。在这个小岛上，他突然醒悟。电子的轨道以及位置和速度其实都是“实验中无法观测的物理量”。对于原子来说，实验中可以观测的物理量只有光谱：那一条条光谱线的频率和强度。除此之外，一切有关原子的描述都只是“假想概念”。
于是，他意识到必须整个地颠倒玻尔的原子模型：不能从假想的电子轨道出发计算光谱线，而应该通过光谱的物理变量来推算电子的运动。其实，克莱默已经无意识地走上了这条路。在他们针对高能量状态的计算中，电子“轨道”经过傅里叶变换分解为不同频率的成分，那正是用光谱变量描述电子的位置和速度。其结果是电子的位置和速度分别是两个数学多项式：各个频率成分的叠加。
在具备量子特性的低能量状态中，电子的轨道运动本身不再对应于辐射的频率。因此同样的做法无法适用。海森堡明白了那只是他们拘泥于轨道这个假想概念的结果。如果电子的轨道并不存在，电子的运动依然可以通过光谱变量推算。在低能量状态中，电子既不会像玻尔想象的在固定的轨道上运转，也不会在两个轨道之间“跃迁”。电子只是按照所有可能存在的谱线变量所决定的模式运动。
为了找出所有可能辐射频率的组合，海森堡发现他不再能用傅里叶变换后出现的简单多项式，而必须相应地制作一个表格。那是一种生活中很常见的表格。地图上经常会有大城市之间的距离表；在体育新闻中，循环赛各队之间比赛的比分也常常以这样的表格来展示。表格中的行和列分别是城市或球队，表中则列出它们之间的距离、比分等各种数值（表17.1）。
表17.1 京沪高铁主要站点距离列表示意。海森堡的表格类似于这样的城市距离表。不同的是每一个“城市”是原子的一个能级，城市之间的距离就是能级之间的能量差，也就是辐射的频率。这个列表非常大，因为电子的能级可以有无穷多个。他同时也可以另外做一个同样的列表，其中的数值不再是辐射的频率而是强度，也就是爱因斯坦辐射理论中的那个吸收或发射的可能性。
然后，海森堡仿照傅里叶变换中的多项式以这些列表构造出电子位置、速度的表达方式，以及相应的物理规律。这时他需要用这些列表进行代数运算，于是他又不得不摸索出一套如何将两个表相加、相乘的法则。他费了好一番功夫才理清这些头绪，发现这个新体系居然既有着逻辑上的自圆其说，也符合着物理的能量守恒。
这时已经是凌晨三点。他无法入睡，干脆跑到海边，在黑暗中攀登上一块高高的、延伸到海面上的巨石，坐着等待日出。他并不明白自己刚刚发现了什么，但他知道“事情已经发生了”
十来天后，不再昏头涨脑的海森堡终于离岛。他在回程中特意先去汉堡征求师兄的意见。泡利听了他一番语无伦次的描述，罕见地未能当机立断指出其中谬误，只催促他赶紧写出论文发表。这给了海森堡莫大的信心。
又费了一番功夫，海森堡写出论文初稿。虽然他对玻尔无比尊敬，但他没敢提前向玻尔透露这一进展。在哥本哈根与克莱默合作的那几个月里，他已经领教过玻尔对论文大刀阔斧、反复无常的修改套路。为避免那样的命运，海森堡就近将论文交给玻恩。然后，他自己启程前往英国剑桥履行早就计划好的学术访问，顺便又与童子军小伙伴们相聚，在英吉利海峡沿岸远足。
维尔纳·海森堡(1901-1976)在1933年。图源:维基百科
玻恩果然没有犹豫，把论文转交给《物理学杂志》发表。但他放心不下海森堡自己父母的那个列表及其运算法则。熟谙数学的玻恩总觉得那一套似曾相识。直到7月中旬去参加德国物理学会的年会时，玻恩才恍然大悟。那就是多年前还在学数学时见到过的“矩阵”(matrix)。
海森堡式的列表在古代就有过雏形。半个世纪前，剑桥的著名数学家亚瑟·凯利(Arthur Cayley)为其赋予严格数学定义，称之为矩阵并发展了相应的代数。海森堡自己琢磨出来的那些运算规则正是凯利矩阵代数的一部分。只是矩阵代数属于数学中一个隐晦的分支，从来没有过任何实际意义，故也鲜为人知。
玻恩在会上找到泡利，提出一起将海森堡的新理论用凯利的数学规范化。不料泡利竟一口回绝。酷爱数学严谨的泡利这次居然声称他师弟的发现已经是一幅精彩的物理图像，容不得玻恩用某个纯数学体系来糟践。
玻恩回家后只好向他的新助手帕斯夸尔·约旦(Pascual Jordan）求救。约旦刚刚得到博士学位，却也是一位精通数学的鬼才。他们恶补一番矩阵代数，将海森堡在小岛上的粗糙思想赋予完整的数学方式表达出来。海森堡度假回来后立刻也加入了这一行动。
1925年9月，海森堡自己的论文率先问世。两个月后，玻恩和约旦发表他们两人充实海森堡数学基础的论文。1926年2月，玻恩、约旦和海森堡又联名发表总结性论文。这个史称“一人论文”“两人论文”“三人论文”的系列一举奠定所谓的“矩阵力学”。
在那同一时期，玻恩和海森堡相继开始使用一个新的名词：“量子力学”。它标志着一个有别于牛顿力学的新力学体系的诞生。
本文摘自程鹗所著图书《不可能的实在：量子纠缠史话》，清华大学出版社2023年1月出版。
本文转载自《赛先生》微信公众号
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