新智元报道
编辑：Aeneas KingHZ
【新智元导读】就在刚刚，希尔伯特第六问题，被华人学者解决了！北大数学07级的邓煜、中科大少年班的马骁联手陶哲轩高徒Zaher Hani，完成了这个125年的奇迹。如果通过同行评审，三人就是绝对的菲尔兹奖候选人。今年果然是华人数学奇迹年！
见证历史！
125年后，希尔伯特第六问题被华人数学家解决了。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2503.01800
这篇意义重大的论文，作者为北大数学07级的邓煜、中科大少年班的马骁，以及陶哲轩高徒Zaher Hani。
在1900年的世界数学大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演，提出了23个最重要的数学问题。
这23个希尔伯特问题，从此成为数学家们力图攻克的难关，对现代数学的发展产生了深刻的影响。
其中，希尔伯特第六问题的核心内容，就是「将物理学的公理化」，也即用数学的方式，把物理学的基本理论（尤其是力学和概率论）建立在严格的公理体系上。
此前，希尔伯特第六问题一直处于部分解决的状态。而如今，狭义希尔伯特第六问题，竟然被华人科学家解决了！
在本文中，我们严格推导了流体力学的基本偏微分方程，例如可压缩欧拉方程和不可压缩的Navier-Stokes-Fourier方程，并从经历弹性碰撞的硬球粒子系统出发进行推导。这一工作解决了希尔伯特第六问题，特别是关于通过玻尔兹曼的动力学理论，从牛顿定律推导流体方程的研究计划。
目前，论文虽尚未经过同行评议，但华人数学界的评价多数为积极正面。
数学界也再次引起轰动，直呼今年是「华人数学界的奇迹年」！
同为北大07级校友，前有王虹突破挂谷猜想，今有邓煜解决希尔伯特第六问题，两人一下子都成为了2026年菲尔兹奖的热门人物。
网友们惊呼：北大数学级07级简直是传奇一届。
从牛顿运动定律出发
根据知友「疯狂绅士」的总结，团队这次的贡献主要通过以下步骤实现突破：
1. 模型选择
2. 玻尔兹曼-Grad极限
3. 弱收敛证明
4. 熵产生机制
由此，该成果首次在数学上完整实现「牛顿定律→玻尔兹曼方程→流体方程 」的逻辑链条。
希尔伯特第六问题的目标，就是像欧几里得几何那样，把物理学的基本概念、定律和推导过程变成一套逻辑严密、无可置疑的数学体系。
而在当时，其中的「物理学」，指的主要就是概率论和玻尔兹曼的气体动理论。
作为原子论的坚定支持者，玻尔兹曼发展了统计力学方法，基于原子论假设，给出了理想气体在非平衡状态下的状态运动方程，但如何严格推导一直是个难题。
希尔伯特提出的研究计划，目标就是严格推导流体运动的定律，从原子尺度上的牛顿运动定律出发，以玻尔兹曼的动力学理论作为中间步骤。
希尔伯特明确提出了两个具体问题——
第一，是概率论的公理化基础，此问题已在20世纪上半叶解决。
第二，是玻尔兹曼关于力学原理的问题：如何从数学上发展极限，从原子论的视角推导出连续介质的运动定律。
然而问题关键就在于，牛顿运动定律可逆，但玻尔兹曼方程却不可逆。
科学家们对此进行了艰难尝试，直到1975年，美国数学家Oscar Erasmus Lanford证明了Lanford定理。
他基于粒子均为球对称粒子弹性碰撞的假设，证明了在足够短的时间内玻尔兹导方程的正确性。此后相关研究并未突破。
更进一步：用稀薄气体硬球系统严格推导
去年11月，邓煜团队使用稀薄气体硬球系统，严格推导了玻尔兹曼动力学方程，让希尔伯特第六问题的解决更近一步。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2408.07818
文章长达164页，是解决Hilbert第六问题过程中的关键一步。
总体策略借鉴了前两位作者在波湍流理论中关于波动动力学方程长时间推导的范式。
核心思想是传播一种长时间累积量（cumulant）假设，该假设能够保留相关粒子完整的碰撞历史研究的关键在于证明这些累积量在L1范数下的微小性，而这一问题可以转化为研究费曼图（Feynman diagrams）对应的碰撞历史（CH）分子的组合性质。
为了解决这个问题，设计了一种复杂的切割算法（cutting algorithm），这是本研究的核心创新点，最终成功证明了这些累积量的微小性。
希尔伯特第六问题，彻底收尾
而团队此次的新论文，给狭义希尔伯特第六问题彻底收尾。
在本文中，作者对图1所示的极限过程进行了严格论证，在2维和3维周期环面上推导了玻尔兹曼方程。
第一步，就是从牛顿定律出发，对玻尔兹曼动力学理论进行严格推导。
考虑一个由N个直径为ε的粒子组成的微观系统，这些粒子发生弹性碰撞。
通过取动力学极限（即N→∞，ε→0），研究者希望证明：该粒子系统的单粒子密度可以很好地被玻尔兹曼方程的解n(t, x, v) 近似描述：
其中，Q(n,n)是硬球碰撞核（hard-sphere collision kernel），参数 α:=Nε^(d−1) 代表粒子系统的碰撞率，在该动力学极限下保持不变。
比例关系对应于稀薄气体的情形，被称为玻尔兹曼-Grad极限。
在计划的第二步（流体力学极限）中，研究者希望从玻尔兹曼动力学方程推导流体力学方程，例如可压缩欧拉方程、不可压缩欧拉方程和不可压缩Navier-Stokes方程等。
这一步的关键是在取碰撞率α的极限时，推导出这些方程。
要完整实现希尔伯特最初提出的研究计划，需要正确结合这两个极限，从而如希尔伯特所言，实现从原子尺度的物质描述过渡到连续介质的运动定律。
至关重要的一点，就是必须在O(1)量级的时间区间内推导玻尔兹曼方程（即将时间和空间变量适当缩放）。
本工作的研究目标有两个方面：
扩展玻尔兹曼方程的推导至周期空间T^d（即d=2,3）。
连接动力学极限与流体力学极限，使其与上述研究成果相结合，从而完整推导出从牛顿定 律出发的流体力学方程，最终实现希尔伯特最初提出的研究计划。
可以将主要的研究定理总结如下：
定理 1：玻尔兹曼方程在T^d（d=2,3）上的推导。
定理 2：从牛顿定律推导不可压缩Navier-Stokes-Fourier方程。
定理 3：从牛顿定律推导可压缩欧拉方程。
极具挑战性的问题，就是如何从时间可逆的微观牛顿力学过渡到时间不可逆的介观玻尔兹曼理论。
众所周知，玻尔兹曼方程的解在任意接近Maxwellian的情况下都是全局时间存在的。
由于定理1覆盖了玻尔兹曼方程解的完整寿命，因此它可以被视为从时间可逆的牛顿理论到时间不可逆的玻尔兹曼理论过渡的数学证明。
在接下来，作者给出了定理1-3的精确定义，并证明了定理2和定理3，在此过程中引入了新的算法和新的积分估计方法。
最终他们完成了希尔伯特第六问题的证明。
作者介绍
邓煜
邓煜，目前是芝加哥大学的副教授。
之前，他历任南加州大学的助理教授、教授。他的研究兴趣包括色散和流体方程，并与概率和调和分析相关。他于2015 年至2018年在Courant Institute担任博士后。
邓煜毕业于深圳高级中学，北大转学MIT；于2015年在美国普林斯顿大学获得博士学位。
2006年，他和柳智宇等一同获得了国际数学奥林匹克竞赛IMO的金牌。
他在中国深圳长大，之后曾居住在北京、波士顿、纽约、洛杉矶和芝加哥。
他喜欢诗歌、故事、小说、谜题、漫画、围棋、足球，以及一切美丽且令人着迷的事物。
他是知乎数学话题下的优秀答主。
2018年， 他分享过21岁在麻省理工MIT求学的生活：
2010年，刚转去MIT的第二学期，选了五六门数学课，同时读着三本书；最多时每天工作8小时40分钟，曾花一个星期读完过85页的论文并验证每一个细节包括挑错，现在大概是再做不到了。
Zaher Hani
目前，Zaher Hani是密歇根大学的数学教授。2018年加入密歇根大学之前，他曾在佐治亚理工学院担任助理教授（2014-2018），并在纽约大学库朗数学科学研究所担任库朗讲师兼西蒙斯研究员（2011-2014）。
2011年，在加州大学洛杉矶分校（UCLA）完成博士论文，师从陶哲轩。
2008年，从加州大学洛杉矶分校（UCLA）获硕士学位；2007年，从美国贝鲁特大学数学学士学位。
他的研究兴趣主要集中在非线性偏微分方程（PDE）的数学分析，以及它与统计物理和湍流理论的联系。
马骁
目前，马骁是密歇根大学的研究助理教授， 研究领域是数学和分析。
2023年，他博士毕业于普林斯顿大学。2018年，从中国科学技术大学获学士学位。
根据网上流传的中国科学技术大学数学修课指南，他考入14级少年班、华罗庚班。
参考资料：
https://mp.weixin.qq.com/s/arK007SWk4nvVGDUyFpx_A
https://www.zhihu.com/question/423359084/answer/1512229459
https://dl.icdst.org/pdfs/files3/91fd86c3c11da17c96114187b1aebf85.pdf
