整数和有理数一样多吗？
数学中最让人着迷的一个问题就是“无限”。
当我们开始学会数数，就发现1、2、3……数字似乎永远也数不完，这就是最简单的无限。而当接触到分数，比如1/2, 1/3, 2/3，这些数看起来似乎要比前者要多得多，那分数（有理数）真的要比整数更多吗？
这个问题看似简单，其背后却隐藏着数学家们对“无限”的深刻思考，它其实是一个数学史上颇具争议的经典话题，我们下面来仔细分析下。
什么是整数和有理数？
为了讨论整数和有理数的“大小”，得先弄清楚这两个概念到底是啥。
整数就是我们最熟悉的数集了，通常用符号ℤ表示。它包括下面这些：
- 正整数：1, 2, 3, …
- 负整数：-1, -2, -3, …
- 零：0
有理数则是更大的一类数，记作ℚ，包括所有可以表示为分数的数。也就是p/q的形式，其中p和q是整数，且q ≠ 0。如果q为1的话，那也就是所有的整数了。
这样，有理数不仅包含所有整数，还包含分数和有限小数、无限循环小数，例如：
- 分数：1/3, -7/8
- 小数：2.5, -0.333…
如此看来，有理数一定要比整数多得多吧？不过……
无限的大小该怎么比较？
在日常生活中，我们会用“数量”来比较大小，比如一堆苹果、一包糖果、甚至一盘瓜子，仔细数一数就知道哪个多。但是在数学中，比较两类数的“大小”，就没法直接用“数一数”的方法了。
为什么？因为整数和有理数都是无限多的，那就完全没法数清楚。
数学家们为此发明了一套新方法，叫做一一对应法。它的核心思想是：
- 如果可以把两类数一一配对，配对后没有遗漏或重复，就说明它们的“大小”是一样的。
整数和有理数一样多吗？
现在，就来看看整数和有理数的“大小”到底是不是一样的。
毫无疑问，整数集ℤ是无限的：我们可以从0开始，1, 2, 3, …一直往上数，也可以从0往负方向数，-1, -2, -3, …，没有尽头。所以整数是一个无限集
有理数显然也是无限的，因为整数本身就是有理数的一部分，而分数更是无穷无尽。
整数和有理数的“大小”：能一一对应吗？
既然“数一数”行不通，我们就要用一一对应法。下面分别来看整数和有理数的情况。
有理数看起来比整数多得多，但实际上，有理数和整数的“大小”是一样的。人们找到一个巧妙的方法，把有理数和整数一一对应起来。
将有理数排列成一个表
首先，把所有的正有理数写成分数的形式，并按照分子和分母的绝对值排列成一个无穷大的表格：
这个表格包含了所有正有理数。如果再加上负有理数（例如 -1/2, -3/4）以及0，就可以得到整个有理数集ℚ。
用“对角线法”一一对应
为了把有理数和整数配对，我们可以按照“对角线法”来排序：
▲ 图自维基百科
- 从(1/1)开始，沿对角线移动：1/1 → 2/1 → 1/2 → 3/1 → 2/2 → 1/3 → 4/1 → 3/2 → 2/3 → 1/4 → …
- 跳过重复的分数，比如2/2和1/1，只保留其中一个。
这样，我们就能列出一个有理数的序列：1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, …
接下来，我们给每个有理数分配一个整数：
- 1对应1/1
- 2对应2/1
- 3对应1/2
- 4对应3/1
- 5对应1/3
- 6对应4/1
- 7对应3/2
- 8对应2/3
通过这种方法，就能把有理数和整数一一配对，不会有没有遗漏或重复。这样从数学上来说，有理数和整数是一样多的
- 数学家康托尔通过研究集合的基数，提出了“可数无限集”的概念：如果一个无限集合可以与自然数（或整数）一一对应，那么它的基数是ℵ₀（阿列夫零）。整数和有理数的基数都是ℵ₀，因此从数学上看它们的“大小”是一样的。
整数和有理数的比较让我们看到，数学中的“大小”并不能直观得到。而通过一一对应法，数学家重新定义了无限集的“大小”，并揭示了数学中隐藏的层次结构——无限的“大小”其实有不同层次。
在数学史上，这些关于无限的研究不仅改变了人们对数学的认识，也深刻影响了哲学、物理学等领域。它告诉我们，数学并不仅仅是公式和计算，更是人类思维的极限探险之旅。
