小乐数学科普：实数轴及其赝品—

作者：James Propp（马萨诸塞大学洛厄尔分校）2025-1-17

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-21

有一个非常漂亮的思想实验，有时被认为是德谟克利特（Democritus，公元前460 - 370）的作品，尽管它实际上是原子假说¹后来的推广者所提出的，是这样讲的：假设我们用世界上最锋利的刀将一块奶酪切成两半，让一大块变成两小块。如果奶酪是由原子组成的，那么一些原子最终会落入一半奶酪，其余的原子最终会落入另一半。但是，如果奶酪是连续的物质，并且奶酪块类似于欧几里得几何中的线段，那么与刀刃精确对齐的点会发生什么情况呢？它们会复制吗？它们会消失吗？刀是否会以某种方式滑到刀刃点的一侧或另一侧？这些选项似乎都不令人满意，但如果我们要切断真正连续的东西，我们还有哪些其他选项呢？

在某些方面，滑刀选项（奶酪块的对称性被打破）对我来说似乎是最令人不满意的。它表明你永远无法真正将某个东西切成两等份，不是因为人类仪器的不精确，而是因为空间本质上有些奇怪——这种奇怪的影响就是，骨感的一维空间，连欧几里得都发现没有足够有趣的东西可讲。然而奇怪的是，寓言中的第三种选择，即刀必须向左或向右滑动，在一个半世纪前得到了某种证明，当时德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831 - 1916）开始深入思考实数是什么。

切割数轴

“你如何定义‘真实’？”——墨菲斯，《黑客帝国》

理查德·戴德金是卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的最后一位博士生，高斯被许多人视为十九世纪最伟大的数学家。在我的文章《当5不是素数时》中我们认识了戴德金。

1854年获得资格后，他在哥廷根讲授概率和几何，之后他作为教师的声誉日益提高，使他能够在苏黎世理工学院任职。在理工学院，他开始教授微积分课程，并开始重新考虑该学科的基础和实数的本质。尽管他直到1872年才发表论文《连续性与无理数》，但他的思想在1858年底就完全形成。

在小学里，我们被教导要把数字描绘成一条直线，这种形象变得如此根深蒂固，以至于我们很容易忘记数字和点之间的对应关系也曾经是新鲜事物。²我们学习将整数、负数和分数绘制为数轴上的各个点。当数a小于数b时，数轴上a对应的点位于b对应的点的左侧。

在初中或高中，我们学习新类型的数字：不能写成分数的无理数（irrational number）。有理数和无理数合在一起就构成了实数（real number）。我们还从绘制单个点超越到绘制点集；例如，我们被教导将满足 0 ≤ x ≤ 1 的数字x的集合表示为数轴上长度为1的线段，并将满足 0 < x < 1 的数字x的集合表示为长度为1的略有不同的线段，两个线段之间的区别在于前者包含其两个端点，而后者都不包含两个端点。我们将前一组数字称为端点为0和1的闭区间（closed interval），将后一组数字称为端点为0和1的开区间。为了表示这两个区间之间的微小差异，我们被教导将它们分别绘制为下图：

闭区间[0,1]和开区间(0,1)

这些空心和实心的圆圈并不意味着按字面意思理解；毕竟，区间的端点是点，而不是圆。我们还被教导用 [0,1] 表示闭区间，用 (0,1) 表示开区间。就此而言，我们还可以讨论半开、半闭区间 [0,1) 和 (0,1]，其中每个区间都包含其端点之一，但不包含另一个端点。

整条实数轴可以写成 (−∞,+∞)，其中 −∞ 和 +∞ 不应被理解为端点，而是表示该集合永远持续下去的指示符——在−∞的情况下向左永远持续下去，在+∞的情况下向右永远持续下去。例如，整条实数轴可以分为负数集，记作(−∞, 0)，和非负数集，记作[0, +∞)。这些集合分别是开射线和闭射线，其中如果一条射线包含其端点，则称该射线为闭（合）的（closed）；如果省略其端点，则称该射线为开（放）的（open）。每个实数都属于这两个集合之一。请注意，[0,∞) 有一个最左边的元素，即0，但 (−∞, 0)没有最右边的元素；例如，如果a是(−∞, 0)的元素，则a/2 是 (−∞, 0)中比a更靠右的另一个元素。

0左边没有最右边的数字

你还可以将 (−∞, +∞) 分割为闭射线 (−∞, 0] 和开射线 (0, +∞)。现在左侧的射线是闭合的，并且有一个最右边的元素，而右侧的射线是开放的，并且没有最左边的元素。

当我追随戴德金的脚步，为真正想要理解事物的学生教授微积分课程时，我喜欢首先要求学生思考可以将数轴分成两个非空部分A和B ，使得每个数字都属于两个部分之一，并且A中的每个数字都小于B中的每个数字。

经过一番探索后，学生们得出结论，对于每个实数c，他们有两种方法将 (−∞, +∞) 分成所需类型的两部分：一种是A=(−∞, c) 且B=[c, +∞) 以及A=(−∞, c] 且B=(c , +∞) ，如下所示。

每个实数给出了两种分割实数轴的方法

小于c的数字分配给A，大于c的数字分配给B，并且c本身可以分配给任一集合。一种情况下，A有最大元素，而B没有最小元素；在另一种情况下，则相反。

但在找到这些分割实轴的方法后，学生们陷入了困境。他们试图找到更多的方法将实数轴分成左集和右集，但他们发现的每一种新方法，结果都是他们已经找到的方法的伪装版本。经过一分钟左右的停滞后，学生们发现很容易接受可能没有更多的方法可以做到这一点，而我的建议“我们为什么不接受它作为一个假设呢？”很容易得到认可。

学生们没有意识到这一点，但他们刚刚吞下一颗红色药丸（《黑客帝国》电影中做选择的剧情，译者注），这将使他们接受无理数的存在以及未来几周内0.999…等于1的事实。

掉进兔子洞

“此后，就没有回头路了。” ——墨菲斯，《黑客帝国》

红色药丸是戴德金的完备性公理，他作了如下表述：“如果直线上的所有点都分为两类，并且第一类的每个点都位于第二类每个点的左侧，则有且只有一个点将所有点分为两类，将直线分成两部分。”

对于这样一种平庸的断言似乎不值得大张旗鼓的潜在批评，戴德金讽刺地说道：“如果每个人都发现上述原则如此明显，并且与他自己对直线的想法如出一辙，我很高兴；因为我完全无法举出任何证据来证明它的正确性，没人能办到。”

请注意最后五个字，戴德金实际上是在说“我无法证明这一点，但你也不能。”为什么戴德金如此确信他无法从更基本的几何原理推导出完备性公理并不是因为他自己不够聪明？这是因为欧几里得公理与尺规作图（直尺和圆规）的构造方法密切相关，而到1858年，人们已经知道这种方法不足以满足几何的需要。例如，皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel，1814 - 1848）在1837年证明，给定长度为1的线段，无法使用直尺和圆规构造出长度为2的立方根的线段。因此，无法使用欧几里得公理证明存在两条线段，使得较长线段的长度除以较短线段的长度等于2的立方根。³或者简单地说，你不能使用欧几里得公理证明2的立方根存在。另一方面，正如我将在下面粗略论证的那样，一旦你接受戴德金公理，你就可以证明2的立方根存在。因此戴德金可以肯定地知道他的断言并不是欧几里得几何公理的隐藏结果。

当然，数学家们从未认真怀疑过，在某种意义上，2的立方根是否存在，即使他们争论它是否值得被称为数字。直观上似乎很清楚，如果数字x = 5/4 满足x³ < 2，而数字x = 4/3 满足x³ > 2，那么 5/4 和 4/3 之间的某个数字或类似数字的东西肯定应该恰好满足x³ = 2。事实上，一个著名的十九世纪定理“中值定理”（Intermediate Value Theorem）使这种推理受到尊重。它断言，由于不间断的曲线y = x³从直线y = 2 下方开始，然后沿着曲线从左向右移动到直线y = 2 上方，因此必然存在一个与曲线相交的交叉点。它具有视觉意义。

曲线可以从直线下方到直线上方而不与直线相交吗？

但为什么中值定理是正确的呢？怎样才能证明这一点呢？就像戴德金完备公理一样，它不能从欧几里得公理推导出来。事实上，中值定理在逻辑上与戴德金完备性公理等价。每一个都可以从另一个推导出来。⁴

有些数系不满足中值定理，如果你为这样的数系画一条数轴，它也不会满足戴德金完备公理。这些就是本文标题中的“赝品”（假冒者）。戴德金完备性是实数系统与它的众多“冒名顶替者”的区别特征。

数学家研究的最简单的“假冒者”是二进有理数集（set of dyadic rationals）：可以写成 1/2 的某个幂的倍数的数字。如果你想象一把尺子被分成英寸、半英寸、四分之一英寸、八分之一英寸和十六分之一英寸，并想象执行无穷多的平分过程，你会得到二进有理数。这不是一个糟糕的数字系统，它有一个关键属性可以将其与超级“假冒”数字系统（例如 1/1000000 的倍数集）区分开来：对于任意两个不同的二进有理数，它们之间都有1个二进有理数 -- 事实上有无限多个。你可以使用二进有理数尽可能逼近任何数字。

更广泛的数字系统是有限十进制小数集合，即可以写成 1/10 的某个幂的倍数的数字。同样，你可以使用它来近似数字，只要你愿意，只要将运算限制在加法、减法和乘法上，就可以了。这个数字系统足以满足许多实际的数学应用。但尝试用一个数字除以另一个数字，你常常会碰壁；例如，在这个系统中你不能将 1 除以 3。

有理数系统是实数系统最简单的“假冒”版本，可以让你尽情地进行加、减、乘、除。它适用于很多用途，但不适用于微积分，甚至不适用于代数。如果仅使用x坐标和y坐标均为有理数的点绘制前面的曲线y = x³的图像，你会发现曲线从y = 2 直线下方到达y = 2 直线上方却从未真正跨越那条直线！

尽管完备性公理可以被视为关于分割实数的方式的否定断言——“除了明显的已知方法之外，你永远不会找到任何其他方法将数轴分割成左部分和右部分”——它可以被用来以证明为真的方式来证明特定数字的存在；因为，假设将数轴分割为两个非空集合A和B，使得A的每个元素都小于B的每个元素，该公理告诉我们必须存在一个数c，使得c是A的最大元素或B的最小元素。例如，令A为满足x³ < 2 的所有实数x的集合，并令B为满足x³ ≥ 2 的所有实数x的集合。戴德金公理表示，必须存在一个数c，使得c为A的最大元素或B的最小元素，由此可以用代数方式证明c³恰好为2。⁵

至于为什么戴德金的完备性公理意味着0.999… = 1（我之前写过有关此等式的文章），完整的解释需要绕道我们写 0.999… 时所表达的含义，但这里有一个关于0.999…在任何戴德金完备数系中都必须等于1的原因的提示。如果 0.999… 和 1.000… 不同，它们之间的差异将是一个无穷小（infinitesimal）正数，小于所有数字 1/10、1/100、1/1000 等等。让我们证明这与戴德金公理矛盾。设A为由所有负数、数字零和所有无穷小正数组成的集合，并设B由其他所有数组成，即所有不是无穷小的正数。不难证明，如果x是无穷小正数，那么较大的数10x也是无穷小，由此我们可以得出A不包含最大元素的结论。另一方面，不难证明，如果x为一个不是无穷小的正数，那么较小的数x/10也不是无穷小正数。所以B不包含最小元素。评估这种情境，我们发现我们已将数字系统分为没有最右边元素的左集和没有最左边元素的右集。

那留给我们的是什么呢？不属于戴德金的实数轴，这是肯定的！

没有回头路

“释放你的思想。” ——墨菲斯，《黑客帝国》

通过接受戴德金的完备性公理，我的微积分学生在不知不觉中跨越了几个世纪的混乱，得出了连续统（continuum）的现代概念。是的，我欺骗了他们，但我不会为此道歉。数学专业的学生迟早会接触到实数完备性公理的某种版本或变体——不过，在大多数大学里，是晚点而不是早点——通常是在一个名称有些晦涩的“实分析”（real analysis）课程中。⁶为什么不向他们展示一个直观上合理的完备性公理？戴德金的完备性公理是所有逻辑上等效的形式化直觉的最直观合理的方法，即实数轴与多种“假冒”数轴不同，其中没有漏洞（缝隙）。

我喜欢这样陈述完备性公理：如果数轴L是一条实数轴而不是一条“假”数轴，那么就无法将L分为两个非空集合A和B，使得

(1) A和B中没有共同数，

(2) A和B一起包含了每个数字，

(3) A中的每个数都小于B中的每个数，

(4) A没有最大元素，并且

(5) B没有最小元素。

就是这样！从这个关于实数轴的公理，你可以推断出微积分所需的所有数字实际上都存在。

除此之外你可能会开始担心：我们如何知道实数轴存在？

当然，我并不是指物理意义上的“存在”。我指的是数学意义上的存在，尽管“数学意义上的存在”这个概念是模糊且有争议的。

你当然可以采用一条“假”数轴，通过创建新数字来填补其漏洞，使其不那么假。⁷假设我们从由有理数组成的实数的“假”版本开始，仅此而已。加上所有正有理数的平方根，你将填补有理数轴上的一些漏洞，但仍然存在与更复杂的数字，如√(2+√3) 相关的漏洞。如果你想要一条无洞的数轴，你就必须把它们连同它们所有的平方根、新产生的和与乘积等等一起放进去。

即使通过将已包含在内的数字的和、差、积、商和平方根放进去的过程，以某种方式进行了无限多个步骤，你也会到达一个休息点，在此沿着这些数轴无法取得进一步的进展。你只能得到可尺规作图构造的实数集合（set of straightedge-and-compass–constructible real numbers）。你的数轴仍然会有洞；例如，没有二的立方根。

所以也许你会更加努力地工作并扩大你的运算范围以添加新的数字，这样你就可以得到立方根和四次根等等。然后在那无限漫长的一天结束时，你已经构造了所有代数实数（algebraic real number），但你仍然会丢失像π这样的重要数字。在数轴上那个应该出现π的地方会有一个洞；无论如何，这不是一个大洞，但仍然是一个显示不合格特征的缺陷。当你填满π洞后，仍然会有一个e洞需要填补，以及还有……

我可以继续这个无休止扩大的寓言，但我认为你已经看到了故事如何结束，或者更确切地说，它如何未能结束。你永远无法填补所有这些漏洞。

那么，是什么让你能够想象在某个地方存在一个神奇的数字系统，其漏洞都已被填补呢？

戴德金对此提出了一种答案，即所谓的“戴德金分割”（戴德金切割）。通过这个简单的装置，戴德金提供了一种同时创建所有无理数的方法。这是我下个月要写的内容。

本文是我正在写的一本书的第四章（“小得看不见的洞”）的补充，书名暂定为《数字能是什么？：加法和乘法的更进一步、更陌生的冒险》。如果你认为这听起来很酷并且想帮助我改进这本书，请查看 http://jamespropp.org/readers.pdf 。与往常一样，请随时在我网站（Mathematical Enchantments WordPress）上提交对本文的评论！

尾注

我从 https://van.physicals.illinois.edu/ask/listing/24315 了解到这个寓言，它引用了斯科特·阿伦森（Scott Aaronson，1981 -）的《自德谟克利特以来的量子计算》一书中的大量段落，而该书又根据卡尔·萨根（Carl Sagan，1934 - 1996）的释义改编了这个寓言。想要深入挖掘的感兴趣的读者应该查看Stackexchange对这个有关刀的故事的讨论 https://hsm.stackexchange.com/questions/11600/what-are-the-sources-for-democritus-experiment-of-dividing-a-shell-down-to-its 。

有关这方面的更多信息，请参阅Stackexchange 关于谁发明了数轴的讨论 https://hsm.stackexchange.com/questions/7071/who-invented-the-number-line 。

事实上，想象希腊人谈论用一个长度除以另一个长度有点不合时宜；相反，他们会用长度比来表达。下个月我将更多地谈论长度比率，但现在让我们忽略这个细节。

要了解有关实数的各种完备性之间的等价性的更多信息，请参阅我在2012年《美国数学月刊》上发表的文章《逆向实分析》 Real analysis in reverse https://arxiv.org/abs/1204.4483 。

#5.

细节很乱，但核心思想很简单。如果c³小于2，则必须有一个数c'略大于c，且c'³仍小于c 。另一方面，如果c³大于2，则必须有一个数c'略小于c ，且c'³仍大于c。无论哪种方式，我们都会遇到矛盾。

#6.

在实分析课程中，通常假设最小上界（上确界，least upper bound）性质，这在逻辑上等同于戴德金完备性公理。上确界性质的教学问题是它涉及上面有界的任意实数集。在考虑上确界性质时，你必须想象一个未知的实数集S，其中关于S的所有信息是存在某个实数b，使得S的每个元素都小于或等于b。这样的集合通常是什么样子的？我不知道，更重要的是，我的学生也不知道。它可能是分形的，甚至是不可测量的；谁知道？相比之下，想象一种将数轴分成左集和右集的通用方法要容易得多，或者至少让自己相信你正在想象。有关通过戴德金完备性公理引入实数的教学法的更多信息，请参阅我2010年演讲《戴德金被遗忘的公理以及为什么我们应该教授它》中的幻灯片 https://faculty.uml.edu/jpropp/dedekind.pdf 。

#7.

如果你真的是有那种担心的人，你可能会担心什么使你可以通过指定你希望数字具有的性质来创建数字。

参考资料

https://mathenchant.wordpress.com/2025/01/17/the-real-line-versus-the-fakes/

http://jamespropp.org/readers.pdf

https://van.physicals.illinois.edu/ask/listing/24315

https://hsm.stackexchange.com/questions/11600/what-are-the-sources-for-democritus-experiment-of-dividing-a-shell-down-to-its

https://hsm.stackexchange.com/questions/7071/who-invented-the-number-line

https://arxiv.org/abs/1204.4483

https://faculty.uml.edu/jpropp/dedekind.pdf

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