精确性和确定性是数学陈述的鲜明标志，这是公认的。但对于“数学是发明还是发现”这个问题，人们就有了分歧，而这种争论本该是哲学或政治领域的特质。
“发现”这种说法暗示了在真实或超自然的世间存在着“前世”，而“发明”这种说法涉及人类心智，无论指个人的心智，还是指整个人类的心智。这个问题是一个跨学科的课题，涵盖了哲学、数学、认知科学乃至人类学，绝不是数学能独立解决的——至少不能直接解决。
有的学者是柏拉图主义者（发现论者），有的学者是形式主义者（发明论者）。也有观点认为这个问题本身就是个伪命题，数学既是发现，又是发明；一般情况，概念是发明的，定理是发现的。这个回答的最后，会以欧几里得的黄金分割率为例，来阐释为什么说数学是发明和发现的结合。
观点的一方：数学是发现
1989年，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes），这位赢得了数学界最负盛名的两项荣誉（1982年的菲尔兹奖和2001年的克拉夫德奖）的数学家清晰地表达了自己的观点。
根据我的观察，质数（仅能被1和自己整除的自然数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然，这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学现实和物理现实一样无可争议。
知名而多产的数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）也支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数与数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他曾风趣地评论：“如果森林中有2只恐龙与另外2只恐龙相遇，不管周围是否有人类在观察，那儿都会有4只恐龙。但是，愚蠢的熊却不会知道。”正如孔涅所强调的，“数学是一种发现”（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数1,2,3,4，…，那么就会面临一些无可争议的事实，如：
这与人们如何看待它们的关系并无关联。至少，这会给我们留下一种印象：我们接触的就是存在的真实世界。
观点的另一方：数学是发明
当然，并不是所有人都这么认为。在为孔涅的一本书撰写评论文章时，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah，他在1966年获得了菲尔兹奖，在2004年获得阿贝尔奖）写道：
每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点十分有吸引力。但是，我们真的能支持它吗？假如宇宙是一维空间，或者甚至是离散的，很难想象几何学在这个一维空间中是如何孕育发展的。对人类来说，我们对整数似乎更在行，计数是真正的原始概念。但是想象一下，如果文明不是出现在人类之中，而是出现在潜藏于太平洋深处、独居并与世隔绝的水母之中，情况又会如何？水母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本的感知经验。在这样的环境中，就不会出现离散的概念，也不需要计数。
阿蒂亚确信：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和心理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）也持同样的观点。二人在合著的《数学从哪里来》一书中总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑，以及我们在这个世界中每天的经历。”
阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点又引出了另一个有趣的问题：如果数学完全是人类发明，那么它真的具有普遍性吗？想象一下，假如外星文明真的存在，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934-1996）曾认为，答案是肯定的。当他在《宇宙》一书中探讨智能文明将哪种讯息传播到外空间时，萨根提出：“任何自然的物理进程都不可能只传播仅包含质数的无线电信息。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在一个至少喜欢质数的文明。”但这如何确定呢？
数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一门新科学》一书中提到，他认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表盛开在数学之树上的众多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基于数学公式的法则来描绘自然的话，人类也可以使用其他类型的法则，比如，在简单的计算机程序中所体现的法则。
有些分子生物学家和认知学家基于对大脑功能的研究提出了另外一种观点：数学与语言的区别不大。换句话说，无数时代的人类在注意自己的双手、双眼、两腿后，数字“2”的抽象定义就慢慢形成了。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到，这个字代表有两只翅膀，并能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让-皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）所说的：“对我而言，公理化方法（欧几里得几何学就建立在几条公理之上）就是与使用大脑相关的脑功能的表现”但是，如果数学算作另外一种语言的话，我们又该如何解释，孩子为何在学习语言时相对比较轻松，而相当一部分孩子在学习数学时却倍感吃力呢？
黄金分割率、几何学与数学的两重性
在欧几里得那本不朽名著《几何原本》的第6 卷中，有一个定义是关于如何把一条线段从特定方式分为两条不等线段的。一个更早的定义是关于面积的，出现在第2 卷中。欧几里得提出，线段AB被点C 分为两段，如果以C 为端点的这两条线段的长度之比（AC/CB），与整个线段长度除以较长线段长度的值（AB/AC）相等，那么整条线段的分割比例就符合“中末比”。换句话说，如果AC/CB =AB/AC，那么这一比例就称为中末比。在19 世纪，这一比例有了更广为人知的名字——“黄金分割率”。黄金分割率可以用一个非常简单的代数表达式表示：
你也许要问，欧几里得为什么要如此费事地定义一种线段的分割方式，还专门给这个比例起了一个名字？毕竟，我们有无数种方式来分割一条线段。在从毕达哥拉斯学派和柏拉图学派传承下来的神秘文化中，我们或许能找到答案。毕达哥拉斯学派痴迷于数的研究。他们认为奇数代表男性和善，同时带有偏见地认为偶数代表女性和恶。他们对数5 有特殊的兴趣，因为5 是2 和3 的和，而3 是第一个奇数（男性），2 是第一个偶数（女性）。（1 并没有被认为是一个数，而被当作所有数的源头。）因此，在毕达哥拉斯学派眼中，5 是爱情和婚姻的化身。他们还用五角星作为彼此之间兄弟情谊的象征。这是黄金分割率第一次出现在历史上。
如果你做一个正五角星，并仔细测量其中三角形任意一长边与底边的比值，你就会发现，这两条边之比恰好等于黄金分割率（上图中的a/b）。同样，中间的正五边形的对角线与其边之比，也等于黄金分割率（下图中的c/d）。事实上，只用直尺和圆规就可以轻松地画出这样一个正五角星（这种尺规作图画出正五角星的方法在古希腊时代就有记录）。在作图过程中，你需要把一条线段分成两段，而这个分割点就满足黄金分割。
在毕达哥拉斯之后，柏拉图又赋予黄金分割率新的神秘含义。古希腊人相信，宇宙中的所有物质都是由4 种基本元素组成——土、火、空气和水。在对话录《蒂迈欧篇》中，柏拉图用5 种符合对称规则的多面体来解释物质的结构，它们通常被称为“柏拉图多面体”（platonic solids）。这5 种凸面立体是正四面体、立方体（正六面体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。这些多面体是仅有的各面都是正多边形（针对每一个单独的多面体而言）且其面积都相等的多面体，同时，每个多面体上的所有顶点都在一个球面上。柏拉图把其中4 个多面体与构成宇宙的4 种基本元素联系在了一起。例如，他认为土是立方体，火是正四面体，气是正八面体，水是正二十面体。关于正十二面体（下图的d图形），柏拉图在《蒂迈欧篇》中写道：“对于剩下的第5 种复合图形，上帝用它来代表全部，并给它绣上精美的图案。”也就是说，在柏拉图眼中，正十二面体代表整个宇宙。请注意，正十二面体的每一个面处处都有黄金分割率的影子，它的体积和表面积都可以用黄金分割率的公式来表达——正二十面体也是如此。
历史表明，通过反复试验和试错，毕达哥拉斯学派及其后来者发现了特定几何图形的构成方式。在他们看来，这些几何图形代表着一些重要的概念，例如爱和整个宇宙。毫无疑问，正是毕达哥拉斯学派和欧几里得（他证明了这一教义）“发明”了蕴含在这些结构之中的黄金分割率的概念，并为它起了名字。与其他比例不同，1.618... 这个数激发了众人的热情，成了一项丰富的数学研究的核心。即使在今天，我们仍然能在一些意想不到的地方发现它的踪迹。
例如，在欧几里得时代的两千年之后，德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现在斐波那契数列中，黄金分割率竟然也神秘地显现了。斐波那契数列是指数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …从第3 个数开始，数列中每一个数都是它之前的两个数之和，例如，2 ＝ 1 ＋ 1，3 ＝ 1 ＋ 2，5 ＝ 2 ＋ 3，等等。如果用这个数列中的一个数除以它前面的那个数， 例如，144÷89，233÷144，其结果在黄金分割率附近波动。而且，随着数列的增加，这个值会越来越接近黄金分割率。比如，如果只取小数点之后6 位的话，斐波那契数列的上述除法运算可得到如下结果：144÷89 ＝1.617978，233÷144 = 1.618056，377÷233 ＝ 1.618026，等等。
如今，人们通过观察发现，在一些植物叶片的排列分布方式（术语叫“叶序”）和部分铝合金晶体结构中，都存在斐波那契数列和黄金分割率的影子。
为什么把欧几里得定义的黄金分割概念视为一种发明？这是因为欧几里得凭借富有创意的思想，把这个比例挑选了出来，进行了详细的分析，并成功地吸引了其他数学家的注意。不过值得注意的是，古代中国没有明确阐释黄金分割率的概念，目前发现的中国古代数学文献中基本上没有对它的具体描述。同样，古印度也没有发明黄金分割率的概念，只是在研究三角学的一些定理时隐约提到了这个比例。
许多例子可以证明，“数学是发现还是发明”这个问题其实是一个伪命题。数学是发明和发现的结合！作为一种概念，欧几里得几何学中的公理是发明，正如国际象棋的规则是人类的发明一样。公理被人类发明的各种概念不断补充，如三角形、平行四边形、椭圆、黄金分割率等。但从总体而言，欧几里得的几何学定理又都是发现，它们是连接不同概念的桥梁。在某些情况下，证明催生了定理——数学家仔细研究什么是能证明的，并从中总结、推演出定理。还有另一种情况，正如阿基米德在《方法论》中所描述的，数学家首先找出自己感兴趣的某个问题的答案，之后再寻找证明方法。
一般情况下，概念是被发明的。比如，质数这一基本概念是被数学家发明的，但是，关于质数的相关定理却是人们的发现。在古巴比伦、古埃及和古代中国，当时的数学家们尽管已经发展出了先进的数学理论，但他们从未提出过质数的概念。我们能说，他们只是没有“发现”质数吗？这就好比说，英国没有“发现”唯一的、汇编成法典的宪章。正如一个国家在没有宪法时也能正常运转一样，没有质数的概念，复杂的数学也能不断发展。在历史上，数学的确也是这样发展的！
是什么原因促使古希腊人发明了“公理”和“质数”等概念？我们无法确定。但我们可以猜想，这要归功于他们坚持不懈地探索宇宙基本结构的努力。质数是数的基石，正如原子是物质构成的基础。同样，公理犹如一口源泉，所有的几何真理都从中源源不断地喷涌而出。正十二面体被视为代表了整个宇宙，而正是黄金分割率的概念引入了这一象征。
这些讨论揭露了数学有一个有趣的特性：数学是人类文明的重要组成部分。在古希腊人发明了公理方法以后，西方所有后续的数学理论都遵循这一方法，并接受了同样的哲学和实践方式。人类学家莱斯利·怀特（Leslie A. White，1900—1975）曾试图概括、总结数学中体现的人类文明，他说：“假如牛顿是在霍屯督部落（南非的一个原始部落）长大成人的，他的计算能力可能只和霍屯督人一样。”许多数学发现（如纽结不变量），甚至一些意义重大的数学发明（如微积分），都是由不同数学家在独立的工作中实现的，这恐怕都源于数学体现出的文化复杂性。
